Abstract The mathematical music composition workshop, an endeavor that integrates mathematics and music majors, is a concrete example of a STEAM (science, technology, engineering, arts, and mathematics) project. In this article, the authors analyze how mathematics students and music composition students have worked together, have learned to interpret specialized languages from one another, and have presented their results to a public interested in the relationship that guards these two disciplines. The goal of improving the understanding of abstract mathematical concepts through the application to musical structures is analyzed using the Onto-semiotic Approach (OSA). This framework sheds light on some of the written and oral manifestations of the students who participated. The mathematical competence that the participants were expected to achieve through this interdisciplinary endeavor are privileged in this article over the music education goals (which were also present). workshop majors science, science (science technology engineering arts project together another disciplines Ontosemiotic Onto semiotic OSA. OSA . (OSA) participated which present. present present) (OSA

Resumen El taller de composición musical matemática, un esfuerzo que integra a las carreras de matemáticas y música, es un ejemplo concreto de proyecto STEAM (ciencia, tecnología, ingeniería, artes y matemáticas). En este artículo, los autores analizan cómo los estudiantes de matemáticas y los de composición musical han trabajado juntos, han aprendido a interpretar los lenguajes especializados de unos y otros, y han presentado sus resultados a un público interesado en la relación que guardan estas dos disciplinas. El objetivo de mejorar la comprensión de los conceptos matemáticos abstractos mediante la aplicación a las estructuras musicales se analiza utilizando el Enfoque onto-semiótico (OSA). Este marco arroja luz sobre algunas de las manifestaciones escritas y orales de los alumnos que participaron. En este artículo se privilegian las competencias matemáticas que se esperaba que los participantes alcanzaran a través de este esfuerzo interdisciplinario por encima de los objetivos de educación musical (que también estaban presentes). matemática música ciencia, ciencia (ciencia tecnología ingeniería matemáticas. . matemáticas) juntos otros disciplinas ontosemiótico onto semiótico OSA. OSA (OSA) participaron presentes. presentes presentes) (OSA

Resumen: En Educación Primaria, la proporcionalidad se modeliza algunas veces mediante tablas de valores. El uso de estas tablas queda condicionado por los objetos matemáticos involucrados. En este trabajo, se determinan indicadores sobre el uso operativo y discursivo de estos objetos según el nivel de algebrización. Estos indicadores sirven para valorar el nivel mostrado por estudiantes de 11-12 años, quienes resuelven tareas de proporcionalidad modelizadas mediante tablas. Las respuestas dadas se codifican mediante variables operatorias. Estas variables son analizadas de forma aislada mediante estadística descriptiva elemental y de forma relacional mediante análisis de similaridad y análisis estadístico implicativo. A partir de los datos experimentales, se constata que para alcanzar el nivel de algebrización previsto en esa etapa escolar, es más eficaz una enseñanza con una componente constructivista esencial que una intervención más objetivista por parte del docente. Finalmente, el trabajo permite extraer orientaciones para posibles intervenciones didácticas basadas en los indicadores del nivel de algebrización identificados.

Abstract: In Middle Education, proportionality is often modeled using tables of values. The use of these tables is conditioned by the mathematical objects involved. In this research study, indicators on the operational and discursive use of these objects are determined according to the algebraization levels. These indicators are used to assess the level shown by students, 11-12 years old, who solve proportionality tasks modeled using tables. The responses given are coded through operating variables. These variables are analyzed in an isolated way using elementary descriptive statistics and in a relational way through similarity analysis as well as implicative statistical analysis. Based on the results of this research, we can conclude that in order to reach the level of algebraization expected at this grade level, it will be essential to implement a teaching method based on an essential constructivist approach rather than an objectivist approach. Furthermore, results also suggest possible didactic interventions based on the indicators of the level of algebraization previously identified.

Abstract The counting tasks with patterns are a privileged context for the development of algebraic reasoning. The onto-semiotic complexity of tasks allows the identification of study processes to improve performance in successive algebrization levels, from purely arithmetic manipulation to a practice with a consolidated algebraic level. The objective is twofold: on the one hand, to elaborate indicators that allow evaluating the performance of an operative and discursive practice in the task resolution of counting patterns. On the other hand, to propose a sequence that takes into account the epistemological, cognitive, and teaching restrictions common to these practices. A pre-test and post-test design is proposed using an open-ended questionnaire. A qualitative analysis is carried out through a case study, which provides relevant information on the development of the subjects' algebraic reasoning in the successive algebrization levels. It is concluded that Flexible Mathematical Thinking is a key indicator of the subjects’ algebraic competence; we also provided a teaching sequence that start from a basic strategy based on concrete manipulations and close generalizations to the analysis of different analytical expressions.

Resumen Las tareas de recuento con patrones son un contexto privilegiado para el desarrollo del razonamiento algebraico. La complejidad ontosemiótica de las tareas permite identificar procesos de estudio para hacer progresar el desempeño en sucesivos niveles de algebrización, desde la manipulación meramente aritmética hasta una práctica con un nivel algebraico consolidado. El objetivo es doble: por un lado, elaborar indicadores que permitan valorar el desempeño de una práctica operatoria y discursiva en la resolución de tareas de recuento de patrones; por otro lado, proponer una secuencia que tenga en cuenta las restricciones epistemológicas, cognitivas y de enseñanza propias de estas prácticas. Un diseño pre-test y post-test mediante un cuestionario de preguntas abiertas y el análisis cualitativo de las respuestas por estudio de casos aporta información relevante sobre el desarrollo del razonamiento algebraico de los sujetos en los sucesivos niveles de algebrización. Se concluye que el Pensamiento Matemático Flexible es un indicador clave de la competencia algebraica de los sujetos, y se aporta una secuencia de enseñanza que parte de una estrategia inicial, basada en manipulaciones concretas y generalizaciones cercanas hasta el análisis de distintas expresiones analíticas.

The introduction of algebraic reasoning in primary education is a subject of interest for research and curricular innovation in mathematics education, which supposes an extended vision of the nature of school algebra. In this paper we propose a way to conceive of algebraic reasoning based on the types of mathematical objects and processes introduced in the onto-semiotic approach to mathematical knowledge. In particular, considering a mathematical practice as algebraic is based on the intervention of generalization and symbolization processes, along with other objects usually considered as algebraic, such as binary relations, operations, functions and structures. This way to conceive of elementary algebra is based on and compared to the characterizations given by other authors. We also propose a typology of algebraic configurations that allows defining degrees of algebrization of mathematical activity.

La introducción del razonamiento algebraico en educación primaria es un tema de interés para la investigación e innovación curricular en didáctica de las matemáticas, y presupone una visión ampliada de la naturaleza del álgebra escolar. En este trabajo proponemos una manera de concebir el razonamiento algebraico, basada en los tipos de objetos y procesos matemáticos introducidos en el enfoque ontosemiótico del conocimiento matemático. En síntesis, la consideración de una práctica matemática como algebraica se basará en la intervención de procesos de generalización y simbolización, junto con otros objetos usualmente considerados como algebraicos, tales como relaciones binarias, operaciones, funciones y estructuras. Esta forma de concebir el álgebra elemental es contrastada con las caracterizaciones dadas por otros autores. Asimismo, proponemos una tipología de configuraciones algebraicas que permite definir grados de algebrización de la actividad matemática.