RESUMEN Se modela matemáticamente la interacción del VIH con la respuesta inmune. Inicialmente se construye un modelo de manera detallada, que consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales que incluye células del sistema inmune (células presentadoras de antígenos, células T infectadas en estado de latencia, células T infectadas activadas, células T en reposo, células T colaboradoras, células de respuesta citotóxica inactivas y células de respuesta citotóxica activas) y partículas virales. A continuación se dan condiciones de estabilidad a partir del número básico de reproducción y se hacen simulaciones numéricas que permiten concluir cuáles son los parámetros más influyentes si se desea reducir la infección. A partir del modelo inicial, se formula un Problema de Control con el objetivo de determinar el tipo de intervención más apropiado que asegure niveles altos de células T activas y de respuesta inmune. Se evalúan entonces cinco estrategias de control diferentes basadas en antirretrovirales y se concluye que una estrategia de control constante, obtenida como el valor promedio del control óptimo, brinda resultados satisfactorios.

ABSTRACT HIV interaction with the immune response is modeled mathematically. Initially, a detailed model is proposed that consists of a system of differential equations including immune cells (antigen presenting cells, T latent infected cells, T actively infected cells, resting T cells, helper T cells, inactive cytotoxic cells and active cytotoxic cells) and viral particles. Then, stability conditions are given from the basic reproduction number and numerical simulations are performed. From this it is possible to conclude what are the most influential parameters to reduce infection. From the initial model, a control problem is formulated in order to determine the most appropriate type of intervention to ensure high levels of activated T cells and immune response. Five different control strategies based on antiretroviral are evaluated to conclude that a strategy of constant control, obtained as the average value of optimal control, provides satisfactory results.

ABSTRACT HIV interaction with the immune response is modeled mathematically. Initially, a detailed model is proposed that consists of a system of differential equations including immune cells (antigen presenting cells, T latent infected cells, T actively infected cells, resting T cells, helper T cells, inactive cytotoxic cells and active cytotoxic cells) and viral particles. Then, stability conditions are given from the basic reproduction number and numerical simulations are performed. From this it is possible to conclude what are the most influential parameters to reduce infection. From the initial model, a control problem is formulated in order to determine the most appropriate type of intervention to ensure high levels of activated T cells and immune response. Five different control strategies based on antiretroviral are evaluated to conclude that a strategy of constant control, obtained as the average value of optimal control, provides satisfactory results.

RESUMEN Se modela matemáticamente la interacción del VIH con la respuesta inmune. Inicialmente se construye un modelo de manera detallada, que consiste en un sistema de ecuaciones diferenciales que incluye células del sistema inmune (células presentadoras de antígenos, células T infectadas en estado de latencia, células T infectadas activadas, células T en reposo, células T colaboradoras, células de respuesta citotóxica inactivas y células de respuesta citotóxica activas) y partículas virales. A continuación se dan condiciones de estabilidad a partir del número básico de reproducción y se hacen simulaciones numéricas que permiten concluir cuáles son los parámetros más influyentes si se desea reducir la infección. A partir del modelo inicial, se formula un Problema de Control con el objetivo de determinar el tipo de intervención más apropiado que asegure niveles altos de células T activas y de respuesta inmune. Se evalúan entonces cinco estrategias de control diferentes basadas en antirretrovirales y se concluye que una estrategia de control constante, obtenida como el valor promedio del control óptimo, brinda resultados satisfactorios.

Two models were constructed for sexually-transmitted HIV between healthy and infected patients in a mixed population, i.e. no discrimination was made between age, gender or sexual orientation. The first model had no control and considered three populations according to their infection status; the first concerned the average number of susceptible individuals, the second the average number of undiagnosed HIV infected people and the third was concerned with the average number of undiagnosed infected patients (assuming that susceptible people might acquire HIV from diagnosed and undiagnosed infected patients). The second model included control through diagnosis; it considered two additional populations: the average number of diagnosed healthy carriers and diagnosed HIV infected carriers. This was aimed at studying whether the disease can be controlled by diagnosis only. It was also assumed that, despite diagnosis, susceptible people may acquire HIV from both diagnosed and undiagnosed infected patients. It was noted that numerical simulation provided sufficient evidence for determining that the best diagnostic strategy (i.e. having 100 % effectiveness) was not effective enough to significantly reduce HIV transmission.

Se construyen dos modelos para la transmisión del VIH considerando exclusivamente transmisión sexual entre pacientes sanos e infectados en una población mezclada; es decir, que no se hace distinción de edad, género ni orientación sexual. El primer modelo es sin control y se consideran tres poblaciones según su estado de infección, la primera corresponde al número promedio de individuos sanos susceptibles de adquirir la infección, la segunda al número promedio de portadores del VIH sin diagnosticar y por último el número promedio de portadores enfermos sin diagnosticar, se asume que las personas susceptibles adquieren el virus por contacto sexual con portadores sanos y con portadores enfermos. En el segundo modelo se incluye control por diagnóstico, en éste se consideran dos poblaciones adicionales que son el número promedio de portadores sanos diagnosticados y el número promedio de portadores enfermos diagnosticados. Con esto se pretende estudiar si es posible el control de la enfermedad exclusivamente por diagnóstico, además se asume que a pesar del diagnóstico, aún es posible que las personas susceptibles adquieran el VIH por contacto con portadores sanos y enfermos, tanto diagnosticados como sin diagnosticar. Finalmente se observa que las simulaciones numéricas brindan evidencia suficiente para determinar que la mejor estrategia de diagnóstico, es decir, con una efectividad del 100 %, no es lo suficientemente efectiva como para reducir significativamente la transmisión del VIH.

Se construyen dos modelos para la transmisión del VIH considerando exclusivamente transmisión sexual entre pacientes sanos e infectados en una población mezclada; es decir, que no se hace distinción de edad, género ni orientación sexual. El primer modelo es sin control y se consideran tres poblaciones según su estado de infección, la primera corresponde al número promedio de individuos sanos susceptibles de adquirir la infección, la segunda al número promedio de portadores del VIH sin diagnosticar y por último el número promedio de portadores enfermos sin diagnosticar, se asume que las personas susceptibles adquieren el virus por contacto sexual con portadores sanos y con portadores enfermos. En el segundo modelo se incluye control por diagnóstico, en éste se consideran dos poblaciones adicionales que son el número promedio de portadores sanos diagnosticados y el número promedio de portadores enfermos diagnosticados. Con esto se pretende estudiar si es posible el control de la enfermedad exclusivamente por diagnóstico, además se asume que a pesar del diagnóstico, aún es posible que las personas susceptibles adquieran el VIH por contacto con portadores sanos y enfermos, tanto diagnosticados como sin diagnosticar. Finalmente se observa que las simulaciones numéricas brindan evidencia suficiente para determinar que la mejor estrategia de diagnóstico, es decir, con una efectividad del 100 %, no es lo suficientemente efectiva como para reducir significativamente la transmisión del VIH.

Two models were constructed for sexually-transmitted HIV between healthy and infected patients in a mixed population, i.e. no discrimination was made between age, gender or sexual orientation. The first model had no control and considered three populations according to their infection status; the first concerned the average number of susceptible individuals, the second the average number of undiagnosed HIV infected people and the third was concerned with the average number of undiagnosed infected patients (assuming that susceptible people might acquire HIV from diagnosed and undiagnosed infected patients). The second model included control through diagnosis; it considered two additional populations: the average number of diagnosed healthy carriers and diagnosed HIV infected carriers. This was aimed at studying whether the disease can be controlled by diagnosis only. It was also assumed that, despite diagnosis, susceptible people may acquire HIV from both diagnosed and undiagnosed infected patients. It was noted that numerical simulation provided sufficient evidence for determining that the best diagnostic strategy (i.e. having 100 % effectiveness) was not effective enough to significantly reduce HIV transmission.