Resumen En este trabajo empleamos la teoría de control óptimo para encontrar una cuarentena óptima y estrategias para la erradicación de la propagación de la infección por COVID-19 en la población humana mexicana. En un modelo SEIR, introducimos un control acotado que es una función respecto del tiempo, la cual refleja las medidas de la cuarentena. La función objetivo a minimizar es la suma ponderada del nivel total de infección en la población y el costo total de la cuarentena. Planteamos un problema de control óptimo que representa la búsqueda de una estrategia eficaz de una cuarentena. Resolvemos este problema analíticamente y numéricamente. Establecemos analíticamente las propiedades del control óptimo correspondiente aplicando el principio del máximo de Pontryagin. La solución óptima se obtiene resolviendo un problema de valor de frontera de dos puntos asociado al principio del máximo. Usamos el software MATLAB. Presentamos una discusión detallada de los resultados y las correspondientes conclusiones prácticas.

Abstract This paper is one of the few attempts to use the optimal control theory to find optimal quarantine strategies for eradication of the spread of the COVID-19 infection in the Mexican human population. This is achieved by introducing into the SEIR model a bounded control function of time that reflects these quarantine measures. The objective function to be minimized is the weighted sum of the total infection level in the population and the total cost of the quarantine. An optimal control problem reflecting the search for an effective quarantine strategy is stated and solved analytically and numerically. The properties of the corresponding optimal control are established analytically by applying the Pontryagin maximum principle. The optimal solution is obtained numerically by solving the two-point boundary value problem for the maximum principle using MATLAB software. A detailed discussion of the results and the corresponding practical conclusions are presented.

ResumenSe considera un modelo de tipo Susceptible, Expuesto, Infeccioso y Recuperado (SEIR) que describe la epidemia del ébola en una población de tamaño constante sobre un intervalo de tiempo fijo. Este modelo es una extensión del bien conocido modelo SEIR y es más adecuado para el estudio del mecanismo de control de la epidemia del ébola. Además de los compartimientos tradicionales del SEIR, este modelo contiene un compartimiento aislado infeccioso que representa el número de individuos infectados y expuestos que han sido aislados de los individuos susceptibles. El modelo tiene dos controles de intervención que reflejan los esfuerzos para proteger a los individuos susceptibles de los individuos infectados y expuestos. Adicionalmente, hay dos funciones de control que definen los esfuerzos para la detección y aislamiento de individuos infectados y expuestos. Se plantea el problema de minimización de la suma del total de cocientes de individuos infectados y expuestos y el total de costos ponderados de restricciones de control sobre un intervalo de tiempo. Para el análisis de los correspondientes controles óptimos, se usa el principio del máximo de Pontryanguin. En consecuencia, los controles son funciones bang-bang determinadas por las correspondientes funciones de cambio. Con el fin de estimar el número de ceros de las funciones de cambio, se propone un nuevo enfoque basado en el análisis de los problemas de Cauchy para las derivadas de estas funciones. Se encontró que los controles óptimos del problema original tienen a lo sumo un cambio. Esto permite la reducción del complejo problema original de control óptimo a resolver un problema mucho más simple de minimización condicional de una función de tres variables. Se presentan los resultados y análisis de la solución numérica a este problema.

AbstractA Susceptible, Exposed, Infectious, and Recovered (SEIR) type control model describing the Ebola epidemic in a population of constant size is considered over a fixed time interval. This model is an extension of the well-known SEIR model and is more suitable to the study of the control mechanism of Ebola epidemics. Along with the traditional SEIR compartments, this model contains an isolated infectious compartment representing the number of infected and exposed individuals that have been isolated from the susceptible individuals. The model has two intervention controls reflecting efforts to protect susceptible individuals from infected and exposed individuals. Additionally, there are two control functions that define efforts for the detection and isolation of infected and exposed individuals. The minimization problem of the sum of total fractions of infected and exposed individuals and total weighted costs of control constraints over a given time interval is stated. For the analysis of the corresponding optimal controls, the Pontryagin maximum principle is used. Accordingly, the controls are bang-bang functions determined by the corresponding switching functions. In order to estimate the number of zeros of the switching functions, a new approach is proposed based on the analysis of the Cauchy problems for the derivatives of these functions. It is found that the optimal controls of the original problem have at most one switching. This allows the reduction of the original complex optimal control problem to the solution of a much simpler problem of conditional minimization of a function of three variables. Results of the numerical solution to this problem and their analysis are provided.

Consideramos un modelo de control determinístico tridimensional del proceso de biotratamiento aeróbico de aguas residuales. Para este modelo, formulamos y resolvemos dos problemas de control óptimo, cada uno de los cuales tiene un funcional a minimizar. Para el primer problema, el funcional es una suma ponderada de la concentración del contaminante al final de un intervalo de tiempo fijo y la concentración acumulada de la biomasa sobre el intervalo. Para el segundo problema, el funcional es una suma ponderada de la concentración del contaminante al final del intervalo de tiempo y las concentraciones acumuladas de oxígeno y biomasa sobre el intervalo. Para resolver estos problemas, aplicamos el Principio del Máximo de Pontryagin. Las funciones de conmutación son investigadas analíticamente y determinan unívocamente el tipo de controles óptimos para los problemas considerados. Sus propiedades permiten la simplificación de los problemas de control óptimo para una minimización finitodimensional con restricciones. Se brindan las soluciones numéricas de los problemas de control óptimo.

We consider a three-dimensional deterministic control model of the process of aerobic wastewater biotreatment. For this model, we formulate and solve two optimal control problems, each of which has a corresponding minimizing functional. For the first problem, the functional is a weighted sum of the pollutant concentration at the end of a fixed time interval and the cumulative biomass concentration over the interval. For the second problem, the functional is a weighted sum of the pollutant concentration at the end of the time interval and the cumulative oxygen and biomass concentrations over the interval. In order to solve these problems, we apply the Pontryagin Maximum Principle. The switching functions are analytically investigated and uniquely determine the type of the optimal controls for the considered problems. Their properties allow the simplification of the optimal control problems to that of finitedimensional constrained minimization. Numerical solutions of the optimal control problems are also provided.