Abstract In this paper we study topological and analytical conditions on the orbits of a germ of diffeomorphism in the complex plane in order to obtain periodicity. In particular, we give a simple proof of a finiteness criteria for groups of analytic diffeomorphisms, stated in Brochero Martínez 2003. As an application, we derive some consequences about the integrability of complex vector fields in dimension three in a neighborhood of a singular point.

Nesta nota anunciamos alguns resultados no estudo de grupos de difeomorfismos formais e germes de difeomorfismos em várias variáveis complexas. Tais grupos estão relacionados com o estudo de estruturas transversais e a dinâmica das folheações holomorfas, através da noção de grupo de holonomia da folha de uma folheação. Para dimensão um, há um amplo dicionário relacionando classificação analítica/formal do grupo, com suas propriedades algébricas (finitude, comutatividade, solubilidade, dentre outras). Tal sistema de equivalências também caracteriza a existência de certos fatores de integração, ou seja, campos de vetores e one-forms diferenciais invariantes associados ao grupo. Nosso objetivo é estabelecer as linhas básicas de um tal dicionário para o caso de grupos em várias variáveis complexas. Nossos resultados podem ser aplicados na construção de certos fatores de integração para folheações holomofas singulares. Acreditamos que estes podem representar um ponto de partida no estudo da conexão entre Integração Liouvilliana e estruturas transversais de folheações holomorfas singulares no caso de codimensão arbitrária. Os resultados nesta comunicação são derivados da tese de Doutorado "Grupos de germes de difeomorfismos complexos em várias variáveis e formas diferenciais" do primeiro autor (Martelo 2010).

In this note we announce some results in the study of groups of formal or germs of analytic diffeomorphisms in several complex variables. Such groups are related to the study of the transverse structure and dynamics of Holomorphic foliations, via the holonomy group notion of a foliation's leaf. For dimension one, there is a well-established dictionary relating analytic/formal classification of the group, with its algebraic properties (finiteness, commutativity, solvability, among others). Such system of equivalences also characterizes the existence of suitable integrating factors, i.e., invariant vector fields and one-forms associated to the group. Our aim is to state the basic lines of such dictionary for the case of several complex variables groups. Our results are applicable in the construction of suitable integrating factors for holomorphic foliations with singularities. We believe they are a starting point in the study of the connection between Liouvillian integration and transverse structures of holomorphic foliations with singularities in the case of arbitrary codimension. The results in this note are derived from the PhD thesis "Grupos de germes de difeomorfismos complexos em várias variáveis e formas diferenciais" of the first named author (Martelo 2010).

Nesta nota anunciamos alguns resultados obtidos no estudo de distribuições holomorfas admitindo hipersuperfícies reais fechadas transversais. Consideramos um domínio com bordo suave no espaço afim complexo de dimensão dois ou maior. Suponha que o domínio satisfaz uma certa hipótese de trivialidade cohomológica (por exemplo, se o domínio é uma bola). Provamos que se uma um-forma holomorfa em uma vizinhança do domínio é tal que a distribuição holomorfa correspondente é transversal ao bordo do domínio então a característica de Euler-Poincaré-Hopf do domínio é igual à soma dos índices da um-forma nos seus pontos singulares dentro do domínio. Este resultado tem várias conseqüências e se aplica, por exemplo, ao estudo de folheações holomorfas de codimensão um transversais a esferas.

In this note we announce some achievements in the study of holomorphic distributions admitting transverse closed real hypersurfaces. We consider a domain with smooth boundary in the complex affine space of dimension two or greater. Assume that the domain satisfies some cohomology triviality hypothesis (for instance, if the domain is a ball). We prove that if a holomorphic one form in a neighborhood of the domain is such that the corresponding holomorphic distribution is transverse to the boundary of the domain then the Euler-Poincaré-Hopf characteristic of the domain is equal to the sum of indexes of the one-form at its singular points inside the domain. This result has several consequences and applies, for instance, to the study of codimension one holomorphic foliations transverse to spheres.