Abstract: We present, using features of mathematical discourse, an analysis of eighth grade, Middle School, students’ verbal expressions, found in the commu-nicative interaction that took place during a geometry class about similar triangles. We adopt a research strategy “based on usual practices”, with the objective of contrasting the hypothesis we had: students’ verbal utterances in a mathematics class are not usually useful for the development of the respective discourse, due to intrinsic features of those interventions. Our hypothesis does not hold because we found student voices that have considerable potential to boost mathematical discourse. However, these are not always taken advantage of by the teacher, perhaps due to a classroom management that prioritizes achieving student intervention at the cost of exercising the role of discourse leader.

Resumen: Presentamos el análisis de expresiones verbales de estudiantes de Educación Básica secundaria, en interacción comunicativa en una clase de geometría sobre semejanza de triángulos, usando rasgos propios del discurso matemático. Adoptamos una estrategia investigativa “basada en prácticas usuales”, con el objetivo de contrastar la hipótesis que teníamos, según la cual las verbalizaciones de los estudiantes en el aula de matemáticas suelen no ser útiles para el desarrollo del respectivo discurso, debido a rasgos intrínsecos de esas intervenciones. La hipótesis no se sostiene pues encontramos voces de estudiantes que tienen un potencial considerable para impulsar el discurso. Sin embargo, no siempre son aprovechadas por el profesor, quizá debido a una gestión que tiene como prioridad lograr la intervención de los estudiantes a costa de ejercer su papel de líder del discurso.

Abstract This paper presents a relation between the types of conjecturing open problems in geometry, preferably solved using Dynamic Geometry Systems, and the types of arguments produced. The aim of this paper is to show how each type of problem can elicit the production of certain types of arguments (inductive, abductive, and deductive) during the problem-solving process. To back this idea, we use examples of specific problems (that involve the geometric object perpendicular bisector of a segment) and show solution strategies produced by students of a plane geometry course included in a pre-service mathematics teacher program (Universidad Pedagógica Nacional, Colombia). Using the argument model proposed by Toulmin to analyze these strategies, we identify the types of arguments associated with each type of problem. Finally, we indicate the typology of problems that can contribute to the didactic-mathematical knowledge of the mathematics teacher.

Resumen En este artículo se presenta una relatión entre tipos de problemas abiertos de conjeturación en geometría, preferiblemente abordados en Entornos de Geometría Dinámica (EGD), y clases de argumentos producidos. Se expone cómo cada tipo de problema provoca la producción de argumentos (inductivos, abductivos o deductivos) durante el proceso de resolución. Para apoyar la idea, se exponen estrategias de solución producidas por estudiantes de un curso de geometría plana de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Colombia), cuando abordan problemas que involucran el objeto mediatriz de un segmento. Usando el modelo de argumento propuesto por Toulmin para analizar dichas estrategias, se identifican los tipos de argumentos asociados a cada tipo de problema. Se señala cómo la tipología de problemas puede contribuir al conocimiento didáctico-matemático del profesor de matemáticas.

Abstract: In this article, we present an analysis of the arguments of seven tenth grade students (14 to 16 years old) when they try to define a geometric figure unknown to them, and justify their decision, for which they use the negation of propositions. The objective of our study was to find the characteristics of the use of negations, to determine whether what many researchers in mathematics education have found is true: the use of negations in arguments entails difficulties. The research strategy used was case study method, because our data were the transcriptions of the video and audio registers of the student's work. We conclude that the type of tasks proposed to the students, designed to favor the mathematical processes defining and justifying and the use of a dynamic geometry software, promotes spontaneous use of negations. We identify under what circumstances the students recurred to the use of negations to justify their assertions.

Resumen: En este artículo presentamos el análisis de los argumentos de siete estudiantes de grado décimo (14 a16 años) en los que usan la negación de proposiciones, cuando intentan definir una figura geométrica, desconocida para ellos, y justificar su decisión. El objetivo del estudio fue encontrar las características del uso de la negación, para determinar si se cumple lo que muchos investigadores en educación matemática han encontrado: el uso de la negación acarrea muchas dificultades. La estrategia metodológica utilizada es el estudio de caso, dado que los datos empleados fueron las transcripciones de los registros en audio y video del trabajo realizado por los estudiantes. Concluimos que el tipo de tareas propuestas a las estudiantes, diseñadas para favorecer los procesos matemáticos definir y argumentar y el uso de un software de geometría dinámica, propiciaron el uso espontáneo de la negación. Identificamos bajo qué circunstancias los estudiantes recurrieron al uso de la negación para justificar sus aserciones.

Résumé Celle-ci est une étude de recherche interprétative qui suit la trace de la construction du sens d’un fait géométrique, à travers d’une interview non structuré à un étudiant de septième année. Le processus a été médiatisé sémiotiquement par l’intervieweur. L’analyse a été réalisée dans une perspective fondée sur la théorie du signe triadique de Peirce. il est évident que l’introduction à une activité de nature scientifique peut bénéficier de manière significative de la médiation sémiotique d’un expert, en particulier, de sorte que l’étudiant clarifie, raconte et exprime ses idées.

Resumo Um estudo de pesquisa interpretativo é apresentado, em que através de uma entrevista a construção de um significado geométrico feito por um aluno da sétima série é traçado; o processo foi semioticamente mediada pelo entrevistador. A análise é feita a partir de uma perspectiva semiótica baseada na teoria de signo triádico de Peirce. Como resultado, a complexidade dos processos analisados na visão, mas também a possibilidade de dirigir esta complexidade. É evidente que a introdução a uma atividade de natureza científica pode se beneficiar significativamente da mediação semiótica de um especialista, em particular, para o aluno esclarecer, relacionar e expressar suas idéias.

Abstract an interpretive research study is presented. through a non-structured interview, semiotically mediated by the interviewer, we track the personal meaning making process that a 7th grade student carries out with respect to a specific geometric fact. The analysis, presented through vignettes, is done from a semiotic perspective, based on Peirce’s triadic sign theory. We evidence that when introducing a student to activity of scientific nature an expert’s semiotic mediation can notably benefit the student, particularly, to clarify, relate and express his ideas.

Resumen Presentamos un estudio de investigación interpretativa en el que a través de una entrevista no estructurada se rastrea la construcción de significado personal de un hecho geométrico por parte de un estudiante de grado séptimo; el proceso fue mediado semióticamente por la entrevistadora. El análisis, presentado a manera de viñetas, se hace desde una perspectiva semiótica basada en la teoría del signo triádico de Peirce. Se evidencia que la introducción a una actividad de índole científica puede beneficiarse notablemente de la mediación semiótica de un experto, en particular, para que el estudiante aclare, relacione y exprese sus ideas.

Abstract: In a pre-service Euclidean plane geometry course, the teacher tries to encourage student participation in the collective production of proofs. During his interaction with them, he delivers different types of messages. In this article, we present a characterization of teacher messages, which arose while analyzing, from a semiotic perspective, teacher and student interactions within the class. Initially, we present the theory that underlies the semiotic analysis of the dialogues; then we discuss in detail the proposed typology. We then describe the context and methodology of the study. As an example of the use of the characterization, we analyze the teacher’s messages during a real class situation.

Resumen: En una clase de geometría plana euclidiana para profesores en formación, el profesor busca incentivar la participación de los estudiantes en la producción colectiva de demostraciones. Durante su interacción con ellos, profiere distintos tipos de mensajes. En este artículo presentamos una tipología de mensajes del profesor, surgida al analizar, desde una perspectiva semiótica, su discurso al interactuar con los estudiantes. Inicialmente, presentamos la teoría que sustenta el análisis semiótico de los diálogos; luego detallamos la tipología propuesta. A continuación, describimos el contexto y asuntos metodológicos del estudio. Como ejemplo del uso de la tipología, analizamos los mensajes del profesor durante una situación real de clase.

El concepto de un objeto geométrico está mediado, entre otras cosas, por las experiencias que se tienen con él. La hipótesis de este estudio es que realizar un proceso de conceptualización de un objeto, con el uso de un entorno de geometría dinámica, ayuda no solo a formular, formalizar y estructurar definiciones jerárquicas y económicas de los objetos, sino además a hacer obstensible la definición con la que los estudiantes trabajan en un contexto de actividad demostrativa. Para sustentar la hipótesis se analizaron sesiones de clases de dos espacios académicos consecutivos de un programa de formación inicial de profesores, y un cuestionario aplicado a los estudiantes. Se buscaron así evidencias que permitieran, sustentado en el marco teórico que orientó el estudio, determinar el impacto de trabajar en un entorno donde se usa un software de geometría dinámica, como mediador para el aprendizaje. Los resultados permitieron establecer, entre otras cosas, que el trabajo realizado con geometría dinámica debe ir acompañado de acciones intencionadas orientadas por la docente. Se evidenció que se continúan presentando, aún después de usar geometría dinámica, varias dificultades respecto al concepto del objeto geométrico cuadrado, como el predominio de los aspectos figurales sobre los conceptuales, y la dificultad para modificar las definiciones personales del concepto y las imágenes conceptuales, que surgen cuando los estudiantes realizan actividad demostrativa

The concept of a geometric object occurs, among other things, because of experiences on such object. The hypothesis of this study, is that performing a conceptualization process of an object, using a surrounding of dynamic geometry, helps not only to state, formalize and structure hierarchic and economic definitions of objects, but also to establish the definition used by the students working in a context of demonstrative activity. In supporting the hypothesis, sessions of classes of two consecutive academic spaces, of a teacher initial formation program, and a questionnaire applied to the students, were analyzed. The study sought evidences which lead, supported on the theoretic framework that guided the study, to determine the impact of working in a surrounding, where a software of dynamic geometry is used, as a mediator for learning. The results led to establish, among other things, that the work performed with dynamic geometry should be accompanied by intentioned actions guide by the teacher. It was proved that, even after using dynamic geometry, difficulties continue appear regarding the concept of the square geometric object, as predominance of figure aspects on conceptual ones, and difficulty to modify personal definitions of the concept and conceptual images, surged when the students realize any demonstrative activity

Abstract: The purpose of this article is to present the meaning that pre-service teachers give to the Point Localization Theorem, a Euclidean plane geometry theorem. We infer the meaning from the students' use of the theorem when they try to justify a procedure for which it is not adequate. We point out that the error this mistake entails becomes a path used deliberately by the teacher to favor semiosis with respect to the meaning of the theorem; we expose how the teacher recognizes the importance of this incident and therefore opens a space so that the students can explicit their meanings, possible genesis of the inadequate use, as a means to approach the desired shared meaning of the so said theorem. To describe the semiosis and identify the meanings, we use the semiotic perspective inspired in Peirce's idea of triadic sign.

Resumen: En este artículo presentamos significados que estudiantes de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas dan al Teorema Localización de Puntos (de la geometría plana euclidiana), inferidos del uso que ellos hacen del mismo cuando intentan justificar teóricamente un procedimiento en el que el uso de tal teorema no es adecuado. Destacamos el error al que esta falencia conlleva, como un camino usado deliberadamente por el profesor para favorecer una semiosis relacionada con el significado del teorema; exponemos cómo el profesor reconoce la importancia de este suceso y abre el espacio para que los estudiantes expliciten los significados, posible génesis de tal dificultad, buscando que se acerquen al significado compartido deseado de dicho teorema. Para describir tal semiosis y decantar los significados, hacemos uso de la perspectiva semiótica inspirada en la idea peirceana de signo triádico.

La construcción de definiciones en matemáticas y su relación con el proceso de construcción de conceptos han sido cuestiones de interés permanente en la educación matemática. El presente artículo reporta resultados de una investigación sobre el proceso de conceptualización de altura de triángulo realizado por un grupo de estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, en Bogotá, Colombia. El concepto fue abordado en dos cursos de geometría del plan de formación: durante un acercamiento intuitivo a la definición (primer curso) y durante el uso del concepto para demostrar hechos geométricos (segundo curso). Los cursos se desarrollan en el marco de una innovación metodológica de enseñanza, apoyada en el uso de geometría dinámica, que pretende favorecer el aprendizaje. Se analiza la conceptualización a partir de la caracterización del proceso desarrollado por los estudiantes.

The construction of definitions in mathematics and its relationship with the concept building process have been issues of ongoing interest in mathematical education. This article reports the results of a research project on the conceptualization process of triangle height by a group of students from a pre service teacher program in mathematics. The concept was undertaken in two moments, each one in consecutive geometry courses of the curricular plan. In the first course, we used an intuitive approach to the definition and, in the second course, we used the concept to prove geometric facts. The courses were developed within the framework of a methodological innovation in teaching, based on the use of dynamic geometry. The conceptualization process was analyzed through the characterization of the process carried out by the students.

A construção de definições em matemática e sua relação com o processo de construção de conceitos têm sido temas de permanente interesse na educação matemática. Este trabalho relata resultados de uma investigação sobre o processo de conceitualização de altura de triângulos realizado por um grupo e alunos de licenciatura em Matemática na Universidade Pedagógica Nacional, em Bogotá, Colômbia. O conceito foi abordado em dois cursos de geometria do plano de formação: durante uma aproximação intuitiva da definição (primeiro curso) e durante o uso do conceito para demonstrar fatos geométricos (segundo curso). Os cursos se desenvolvem no âmbito de uma inovação metodológica de ensino, apoiada no uso de geometria dinâmica, que visa favorecer a aprendizagem. É analisada a conceitualização a partir da caracterização do processo desenvolvido pelos estudantes.

Resumen. Analizamos la actividad demostrativa de tres estudiantes de un curso universitario de geometría, cuando trabajan colaborativamente en la resolución de un problema. Subyacente a la resolución está la producción de un teorema dentro de una teoría determinada. El análisis se concentra en identificar y seguirles el rastro a las ideas matemáticas surgidas, y en identificar, en las acciones de los estudiantes, los tres aspectos que según Habermas caracterizan un comportamiento racional (teleológico, epistémico y comunicativo), con miras a describir la participación de los estudiantes. Los hallazgos nos permiten afirmar que es posible que estudiantes de pregrado produzcan un teorema.

Abstract. We analyze the proving activity of three students of a university geometry course, when they were working collaboratively to solve a problem. Underlying the solution process is the production of a theorem within a determined theory. With the purpose of describing the students’ participation, the analysis concentrates in identifying and keeping track of the mathematical ideas that emerge and in identifying, in the students’ actions, the three aspects that, according to Habermas, characterize a rational behavior (teleological, epistemic and communicative). The findings permit us to affirm that undergraduate students can produce a theorem.