Resumo: O artigo investiga as estratégias bem-sucedidas, mobilizadas pelos alunos do ciclo de alfabetização ao resolverem problemas de proporção simples. Solicitou-se a 483 alunos do 1º ao 3º ano que resolvessem seis problemas de proporção, sendo analisadas as respostas de 182 alunos que tiveram estratégias bem-sucedidas. Quando comparados os anos escolares, há aumento nos acertos de ano para ano, na classe de situações um para muitos, o que não se pode afirmar sobre a classe muito para muitos, que permaneceu estagnada. Pelos resultados obtidos, é possível que a estrutura multiplicativa esteja sendo pouco discutida, nos três primeiros anos do Ensino Fundamental.

Abstract: The article investigates the successful strategies mobilized by students in the literacy cycle when solving problems of simple proportion. 483 students from the 1st to the 3rd grade of Brazilian Elementary Education, were asked to solve six problems of proportion, and the responses of 182 students who had successful strategies were analyzed. When comparing school grades, there is an increase in hits from year to year, in the class of situations one-to-many, which cannot be said about the class for many, which remained stagnant. From the results obtained, it is possible that the multiplicative structure is being little discussed in the first three grades of elementary school.

Resumo: O estudo investigou a resolução de problemas de produto cartesiano diretos (requer a multiplicação para sua resolução) e inverso (requer a divisão para sua resolução) por alunos do Ensino Fundamental, examinando o nível de complexidade deles e os procedimentos adotados por esses alunos em função do tipo de problema. Solicitou-se que 269 alunos do 3º ao 5º ano, entre 8 e 10 anos, resolvessem um problema de produto cartesiano direto e outro inverso. Como esperado, o problema inverso foi o mais difícil. As estratégias mostraram que os níveis de raciocínio combinatório variavam em função do tipo de problema. Observou-se uma progressão no processo de resolução de problemas de produto cartesiano diretos, mas não nos inversos.

Abstract: The study investigated the solution of direct (which requires multiplication for its resolution) and inverse (which requires division for its resolution) Cartesian product problems by elementary education students, examining the level of problem complexity and the children procedures according to the type of problem. A total of 269 8 and 10 year-old students attending from 3rd to 5th grade, were asked 8 and 10 years to solve direct and inverse Cartesian product problems. As expected, the inverse problem was the most difficult one. The strategies showed that levels of combinatorial reasoning vary according to the type of problem. It was also found a progression in the solution of direct Cartesian product problems, but not in relation to the solution of inverse problems.

Este artigo analisa o desempenho e as estratégias de estudantes dos 3º e 5º anos do Ensino Fundamental na resolução de duas situações do Campo Conceitual Multiplicativo, classificando os níveis de raciocínio empregados por eles. O estudo baseou-se nas ideias teóricas de Vergnaud, e consistiu da aplicação de um teste, composto por 13 questões, para 349 estudantes de uma Escola Pública de São Paulo. Para efeito deste artigo, a discussão centrou-se em duas classes de situações: uma envolvendo a correspondência um para muitos, e a outra, a correspondência de muitos para muitos. Os resultados apontam para uma evolução limitada da competência dos estudantes ao lidarem com problema multiplicativo. Analisando apenas o problema que envolveu a ideia de muitos para muitos, essa evolução cai drasticamente. Do ponto de vista das estratégias, os estudantes do 5º ano usaram, prioritariamente, procedimentos multiplicativos, enquanto os do 3º ano usaram aditivos.

This paper analyzes the performance and strategies for students of 3rd and 5th grades of elementary school in solving of multiplicative conceptual field situations, classifying the level of reasoning employed by these students whilst they were dealing with them. The study, was based on the theoretical ideas of Vergnaud, consisted of a test, composed by 13 questions, applied in 349 students from a public school, sited in São Paulo. Regarding this paper, the discussion will be centered on two questions: one related to the idea of correspondence one to one and another focused on correspondence many to many. The results show a limited evolution regarding students' performance from 3 to 5 to deal with multiplicative problems. Considering only the many to many problem, this development fails drastically. From the perpective of strategies, 5th grade students focused on multiplication mainly, whereas the 3rd grade ones on addition.

O presente artigo inicia pela discussão sobre as contribuições que pesquisadores de diversas áreas - psicologia, história, matemática, antropologia, entre outras - trazem para a Educação Matemática. A ênfase será nas pesquisas que tomam por base a psicologia, detendo-se na teoria dos campos conceituais. Para ilustrar sua posição, o artigo apresenta um estudo descritivo realizado com 103 professoras polivalentes que atuam nas séries iniciais do Ensino Fundamental, no qual foi pedido para que elas elaborassem quatro problemas de estrutura aditiva. Os resultados são analisados à luz da referida teoria e apontam que a maioria dos problemas elaborados (88,43%) são problemas considerados como protótipos; ou seja, os menos complexos cognitivamente. O estudo conclui que parece não haver uma preocupação, ou compreensão, dos professores em trabalhar problemas que facilitem o entendimento e a expansão do campo conceitual aditivo de seus estudantes.

The starting point of this paper is to promote a discussion concerning the contributions that were brought to Mathematics Education from researchers from different areas, such as Psychology, Mathematics, Anthropology, History, among others. The focus will be on research based on Psychology, in special on the theory of conceptual field (TCF). To illustrate this position, the paper presents a descriptive study carried out with 103 primary school teachers, in which they were asked to elaborate four problems of addictive structure. The results, which are analyzed from the TCF perspective, point out that most of these elaborated problems (88,43%) were classified as prototypes ones, that is, those which require less cognitive effort. The study concludes that it seems that there is no worrying, or comprehension, from teachers in relation to explore problems that make their students' understanding easier or to expand the addictive conceptual field.

O presente estudo analisa concepções de estudantes e professores sobre média, tanto aquelas válidas quanto as alternativas, com validade para alguns casos. Um teste, em lápis e papel, composto de 3 questões foi elaborado e aplicado com 287 estudantes e professores brasileiros, dos quais: 54 eram alunos da 4ª série e 47 eram da 5ª série do ensino fundamental, 61 eram estudantes iniciantes e 82 eram estudantes concluintes do curso de pedagogia, e 43 eram professores das séries iniciais do ensino fundamental. O teste foi aplicado de forma coletiva, em sala de aula. Excetuando-se o grupo de professores, todos os grupos tendem a confundir média com adição dos valores ou com o valor máximo. Os resultados mostram que, apesar da evolução no entendimento do conceito de média em relação ao nível de escolaridade, algumas confusões ainda são identificadas entre o grupo de professores.

The present study aims to analyze students and teachers conceptions and misconceptions of average. A paper and pencil test, comprised of three questions, was designed. 287 Brazilian students and teachers undertook the test. They were: 54 pupils from 4th grade, 47 from 5th grade, 61 students beginning undergraduation on Pedagogy, 82 students finishing their undergraduation on Pedagogy and 43 elementary school teachers. The test was undertaken in a collective way. Excepting to the teachers group, all the groups tend to confuse average to addition of the values, or to the maximum value. The result points that, in spite of an evolution on the understanding of the concept of average according to the educational level of the groups, some misconceptions are found within the teachers' group.