Neste trabalho, apresentamos um modelo de programação linear inteira mista 0-1 e abordagens baseadas neste modelo para tratar problemas de carregamento de caixas retangulares dentro de um contêiner ou caminhão, considerando restrições práticas de múltiplos destinos. Em particular, estamos interessados apenas no arranjo da carga dentro do caminhão, assumindo que o roteiro que este deve percorrer já é conhecido a priori e que a carga cabe dentro dele. O objetivo, portanto, é determinar o melhor padrão de empacotamento, garantindo que as caixas não se sobreponham umas às outras dentro do caminhão e considerando a ordem em que elas devem ser descarregadas, sem que para isso seja necessário um manuseio adicional. Testes computacionais com as abordagens propostas foram realizados utilizando o aplicativo GAMS/CPLEX e exemplos gerados a partir de dados aleatórios e exemplos da literatura. Os resultados mostraram que o modelo e as abordagens são coerentes e representam adequadamente as situações tratadas, embora estejam limitados a resolver otimamente apenas problemas de tamanho bem moderado. No entanto, o modelo e as abordagens podem ser úteis para motivar pesquisas futuras para tratar problemas maiores e mais realistas na prática, assim como para tratar o caso combinado deste problema com o problema de roteamento e programação de veículos.

In this paper, we present a 0-1 mixed integer linear programming model and approaches based on this model to solve problems of packing rectangular boxes inside a container or a truck. In particular, we are only interested in the arrangement of the cargo inside the truck. We assume that the route of the truck is already known in advance and that the cargo fits inside the truck. Therefore, the objective is to find the best loading pattern ensuring that the boxes do not overlap each other inside the truck and considering the sequence that they must be unloaded in order to avoid additional handling. Computational tests with the proposed approaches were performed using the software GAMS/CPLEX with randomly generated instances and instances from the literature. The results show that the model and the approaches are consistent and properly represent the situations treated although limited to optimally solve only problems of a moderate size. However, the model and the approaches can be useful to motivate future research to solve larger and more realistic problems in practice, as well as to solve the coupled vehicle routing and container loading problem.

Neste trabalho apresentamos modelos de programação linear inteira 0-1 para problemas de carregamento de caixas retangulares dentro de contêineres, caminhões ou vagões ferroviários, considerando restrições práticas de estabilidade e de empilhamento do carregamento. Os modelos também podem ser utilizados para problemas tridimensionais de carregamento de caixas retangulares sobre paletes, em que as caixas não precisam ser arranjadas em camadas horizontais sobre o palete. Não temos conhecimento de outros trabalhos na literatura que apresentaram formulações matemáticas para estes problemas considerando explicitamente estas restrições. Experimentos computacionais com os modelos propostos foram realizados utilizando o aplicativo GAMS/CPLEX e exemplos gerados a partir de dados aleatórios. Os resultados mostraram que os modelos são coerentes e representam adequadamente as situações tratadas, embora esta abordagem (na sua versão atual) esteja limitada a resolver otimamente apenas problemas de tamanho bem moderado. No entanto, os modelos podem ser úteis para motivar pesquisas futuras explorando métodos de decomposição, métodos de relaxação, métodos heurísticos, entre outros, para resolver estes problemas.

In this paper we present 0-1 integer linear programming models for problems of loading rectangular boxes into containers, trucks or railway cars, considering the practical constraints of stability and load bearing strength of the cargo. The models can also be applied to three-dimensional problems of loading rectangular boxes on pallets, in which the boxes do not need to be arranged in horizontal layers on the pallet. We are not aware of other studies in the literature that present mathematical formulations to these problems considering these constraints explicitly. Computational experiments with the proposed models were performed with the software GAMS/CPLEX and randomly generated instances. The results showed that the models are consistent and they properly represent the situations treated, although this approach (in its current version) is limited to optimally solve only problems of moderate size. However, the models can be useful to motivate future research exploring decomposition methods, relaxations, heuristics, among others, to solve these problems.