Resumo Inspiradas por um projeto de modelagem matemática e pelas discussões teóricas que subsidiam os conceitos de pensamento numérico, pensamento geométrico e pensamento algébrico, nosso objetivo, neste artigo, é propor e caracterizar uma primeira versão de um constructo teórico denominado pensamento integral . O projeto de modelagem foi realizado por estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental e um de seus propósitos era calcular a área superficial da lama que cobriu uma região do município de Brumadinho, em Minas Gerais, Brasil, após o rompimento da barragem de rejeitos de minério de ferro. Trata-se, portanto, de um ensaio empírico-teórico, por fundamentar-se em uma prática escolar de modelagem na educação matemática colocada em diálogo com referenciais teóricos. Mobilizamos problematizações sobre o ensino de integral, em especial a ideia de aproximação, e conceitos próprios da educação matemática na Educação Básica para, a partir da experiência no projeto de modelagem, descrever o conhecimento envolvido no cálculo de áreas de regiões com quaisquer formatos e que pode ser desenvolvido por estudantes do Ensino Fundamental.

Abstract Inspired by a mathematical modelling project and by the theoretical discussions that support the concepts of numerical thinking, geometrical thinking, and algebraic thinking, our objective, in this paper, is to propose and to characterize a first version of a theoretical construct called integral thinking . The modelling project was carried out by 6th grade students, from elementary school, and one of its purposes was to calculate the surface area of the mud that covered a region of the County of Brumadinho, in Minas Gerais, Brazil, after the rupture of an iron ore-tailing dam. It is, therefore, an empirical-theoretical essay, because it is based on a school practice of modelling in mathematics education in dialogue with theoretical references. We mobilized discussions about the teaching of integral, in particular the idea of approximation, and specific concepts from mathematics education in basic education to describe, from the experience in the modelling project, the knowledge involved in the calculation of areas of regions of any format and that can be developed by elementary school students.

Resumo Neste artigo, descrevemos e caracterizamos o processo de matematização que ocorreu em um projeto de modelagem matemática aberto, no qual todas as decisões, desde a escolha do problema do mundo real até sua solução, foram tomadas coletivamente por um grupo de estudantes e pesquisadoras. A pesquisa foi desenvolvida segundo uma abordagem metodológica qualitativa. Baseados em estudos de modelagem na educação matemática e na Teoria Histórico-Cultural da Atividade, pudemos interpretar o processo de matematização como um conjunto de ações orientadas ao objeto do sistema atividade e o objetivo do projeto de modelagem como o próprio objeto da atividade. Concluímos que o processo de matematização, permeado por tensões, ocorreu concomitantemente com a delimitação do objetivo do projeto de modelagem, o que provocou uma série de avanços e retrocessos nas ações dos sujeitos.

Abstract In this paper, we describe and characterize the mathematization process that happened in an open mathematical modelling project, in which all decisions, from the choice of a real-world problem to its solution, were taken collectively by a group of students and researchers. The study was developed according to a qualitative methodological approach. Based on modelling in mathematics education studies and on the Cultural-Historical Activity Theory (CHAT), we could interpret the mathematization process as a set of actions oriented to the activity system object, and the modelling project objective as the activity object itself. We concluded that the mathematization process, permeated by tensions, took place concurrently with the delimitation of the modelling project objective, which caused a series of advances and setbacks in the subjects' actions.

RESUMO: O presente artigo apresenta resultados de pesquisa cujo objetivo foi narrar e analisar, numa perspectiva crítica, a experiência da constituição docente em Matemática, de alunos-professores, em um curso a distância, quando os saberes relativos à prática docente e à formação superior se encontravam. Os sujeitos exerciam a docência em Matemática na Educação Básica e cursavam a Licenciatura pela Universidade Aberta do Brasil. O diálogo teórico empreendeu campos da formação de professores de Matemática, dos saberes docentes mobilizados nessa constituição e o percurso formativo por meio da EaD. O caminho investigativo seguiu pela abordagem qualitativa e pela “investigação narrativa”, inspirado em Clandinin e Connelly (2000) e Bolívar (2002). O material empírico envolveu questionários, entrevistas, memorial de formação e observações da trajetória desses sujeitos em formação. Os sentidos que conferiram à sua formação, como a busca de ‘presentificar ausências’, a legitimação teórica de elementos tratados no ensino, a própria certificação na formação, tensões e desencontros, são algumas das considerações da pesquisa.

ABSTRACT: This paper presents results of a research that had as goal to narrate and analyse, in a critical perspective, the experience of teachers’ distance education in Mathematics, a situation in which the knowledge from teaching practice and the one acquired in higher education met. At the time, the student-teachers, who were subjects of the research, were already Mathematics teacher in Basic Education and, at the same time, pursued an undergraduate degree in teaching with a focus on Mathematics at the Open University of Brazil (UAB). The theoretical dialogue proposed here comprehend Mathematics teacher education, the knowledge mobilized in the teaching constitution and the formative path through distance learning. The investigation followed a qualitative approach and a research method called ‘narrative research’, inspired by Clandinin and Connelly (2000) and Bolivar (2002). The empirical material involved questionnaires, interviews, training memories and observations of the subjects’ educational path. The meanings that they gave to their distance education, such as the search to ‘presentify absences’, in addition to the theoretical legitimization of elements treated in teaching, the certification itself, tensions and disagreements are some of the considerations found in this research.

Apresentamos, neste artigo, resultados de uma investigação que buscou compreender o envolvimento de dois alunos, integrantes de um grupo, em uma atividade de modelagem matemática, a partir da relação que eles estabelecem com o saber matemático. Apoiadas no referencial teórico de Bernard Charlot, da relação com o saber, e utilizando uma abordagem qualitativa, analisamos três episódios em que o grupo está desenvolvendo um projeto de modelagem matemática. Além dos episódios, entrevistas possibilitaram entender aspectos referentes ao envolvimento dos alunos. Nossa análise deu origem à construção do conceito de possibilidades de ação. Como resultado, percebemos que a relação de cada aluno com a Matemática desempenha um papel decisivo em suas possibilidades de ação e que seu envolvimento em atividades de modelagem pode ser compreendido não apenas como as ações efetivamente realizadas, mas também como aspossibilidades de ação vislumbradas por eles.

In this paper, we present the results of an investigation that sought to understand the involvement of two students, members of a group, in a mathematical modelling activity, based on the relationship that they have established with mathematical knowledge. Supported by Bernard Charlot's theoretical framework – the relationship to knowledge – and using a qualitative approach, we analysed three episodes in which the group is developing a modelling project. Besides the episodes, interviews promoted a deep understanding of aspects related to the students’ involvement. Our analysis gave rise to the construction of the concept of possibilities of action. As a result, we noticed that the relationship of each student to mathematical knowledge plays a decisive role in his/her possibilities of action and that students’ involvement in modelling activities can be understood not only as the actions effectively performed by them, but also as the possibilities of action that they glimpse.

Apresento, neste artigo, uma análise de como um grupo de estudantes realizou a tarefa de desenvolver um projeto de modelagem matemática orientado pela educação matemática crítica. Especificamente, procuro compreender como o grupo interpretou o ser crítico que deles era esperado nessa tarefa. É apresentado um referencial teórico sobre modelagem na perspectiva da educação matemática crítica, enfatizando a concepção problematizadora e libertadora de educação de Paulo Freire, a compreensão de educação matemática crítica de Ole Skovsmose e o uso desses referenciais na organização de ambientes de aprendizagem de modelagem matemática. A abordagem metodológica foi qualitativa e o principal procedimento foi a análise do relatório de trabalho produzido pelo grupo. Da análise, foi possível perceber, pelo menos, duas maneiras diferentes pelas quais o grupo interpretou o que significa ser crítico: a primeira sinaliza uma inserção crítica dos educandos em sua realidade e, a segunda, que se apoiou em certezas matemáticas para chegar às conclusões do projeto.

In this paper, I present an analysis of how a group of students carried out the task of developing a mathematical modelling project guided by critical mathematics education. Specifically, I try to understand how the group interpreted the being critical that was expected from them. A framework of mathematical modelling in a critical mathematics education perspective is presented, emphasizing Paulo Freire's problematizing and liberating conception of education, the critical mathematics education by Ole Skovsmose, and these references in organizing mathematical modelling learning milieu. The methodological approach was qualitative and the main procedure was the analysis of the work report developed by the group. From the analysis, it was possible to notice at least two different ways in which the group interpreted what to be critical means: one that suggests a critical insertion of students in their reality, and another that relied on mathematical certainties to reach the conclusions of the project.