Resumen: En nuestro trabajo estamos interesados en promover el aprendizaje de conocimientos estadísticos por parte de alumnos de educación secundaria a partir de la modelización matemática. En concreto, usamos problemas estadísticos abiertos donde se estudian fenómenos sociales reales a partir de grandes cantidades de datos que cumplen con los principios de diseño de las model-eliciting activities con alumnos del último curso de educación obligatoria en España (15 años). Las tareas se dirigen a promover el desarrollo del concepto de variabilidad y aplicarlo para entender la situación estudiada a partir de un modelo matemático. En este estudio nos centramos en identificar los episodios clave de la actividad en los que se avanza en la construcción de los modelos matemáticos y los elementos que los promueven. Para ello se desarrolla un análisis cualitativo a partir de las grabaciones del trabajo en grupo de los alumnos en el aula a partir del uso de diagramas de actividad modelizadora. Los resultados obtenidos muestran que algunas decisiones de diseño del problema, como la gran cantidad de datos, o la ambigüedad de conceptos sociales, como el de justicia y equidad en los impuestos, resultan esenciales para el desarrollo de los modelos matemáticos. Las conclusiones del artículo tienen implicaciones para el diseño de tareas estadísticas, pero también para identificar el rol de la modelización matemática en el aprendizaje de conceptos estadísticos.

Resumo: Em nosso trabalho estamos interessados em promover a aprendizagem do conhecimento estatístico por estudantes do ensino médio a partir da modelagem matemática. Especificamente, utilizamos problemas estatísticos abertos onde fenômenos sociais reais são estudados a partir de grandes quantidades de dados que cumprem os princípios de desenho das eliciting activities com os alunos do último ano de educação obrigatória na Espanha (15 anos). As tarefas visam promover o desenvolvimento do conceito de variabilidade e aplicá-lo para compreender a situação estudada a partir de um modelo matemático. Neste estudo, focamos na identificação dos principais episódios da atividade em que se avança na construção de modelos matemáticos e de elementos que os promovem. Para isso, é desenvolvida uma análise qualitativa com base nas gravações do trabalho em grupo dos alunos em sala de aula a partir do uso de diagramas de atividade de modelagem. Os resultados obtidos mostram que algumas decisões de desenho do problema, como a grande quantidade de dados, ou a ambiguidade de conceitos sociais, como justiça e equidade em impostos, são essenciais para o desenvolvimento de modelos matemáticos. As conclusões do artigo têm implicações para o desenho de tarefas estatísticas, mas também para identificar o papel da modelagem matemática na aprendizagem de conceitos estatísticos.

Abstract: This work is intended to assist 15-year-old secondary school students to learn about statistics using mathematical modeling. Specifically, open statistical problems are presented in which real social phenomena are studied by students using large data sets that comply with the design principles of modeleliciting activities. The tasks assigned are aimed at presenting the concept of variability and its application to understanding the situations studied using a mathematical model. The study focuses on identifying key episodes in the activities in which progress is made in the construction of mathematical models, and the elements that promote them. To do so, a qualitative analysis is carried out based on records of the students’ group work in the classroom using Modeling Activity Diagrams. The results obtained show that decisions about the design of a problem, such as using large amounts of data, or the ambiguity of social concepts such as “fair taxation,” are essential for promoting the development of mathematical models. The conclusions of this investigation have implications for the design of statistical tasks, and also for identifying the role of mathematical modeling in the learning of statistical concepts.

Abstract: This article presents a characterization of the possible resolutions to a Fermi problem from the Fermi problem Activity Templates (FpAT). The article presents the theoretical foundation based on previous research on Fermi problems in Mathematics Education and other fields of research that allows the identification of the four main activities that can be used when solving them. These activities are reasoned estimation, experimentation, searching for data from reliable sources, and statistical data collection and processing. From these activities, the FpAT are specified and their possibilities as tools for the management and design of classroom activities are discussed. Specific examples of classroom proposals are included to support both the work of students and the activity design and management options enabled by the FpAT to promote problem solving and mathematical modelling.

Resumen: Se presenta una caracterización de las resoluciones posibles a un problema de Fermi a partir de los Esquemas de Resolución de Problemas de Fermi (ERPF). El artículo presenta la fundamentación teórica basada en investigaciones previas sobre problemas de Fermi en Educación Matemática y otros campos de investigación que permite identificar las cuatro actividades principales que pueden utilizarse al resolverlos. Estas actividades son la estimación razonada, la experimentación, la búsqueda de datos de fuentes fiables y la recogida y tratamiento estadístico de datos. A partir de estas actividades se concretan los ERPF y se discuten sus posibilidades como herramientas para la gestión y el diseño de actividades de aula. Se incluyen ejemplos concretos de propuestas de aula para sustentar tanto el trabajo de los alumnos como las opciones de diseño de actividades y gestión que habilitan los ERPF para fomentar la resolución de problemas y la modelización matemática.

Abstract This study aims at comparing and describing the different development phases in a non-linear orientation base elaborated by 25 students in sixth grade when they solve four pattern mathematical problems. A qualitative analysis of the items that appear in the different phases of development in the non-linear orientation base is done based on the students’ productions and peer assessment questionnaires that serve as a feedback method. Our results emphasize that, from one phase to another, the non-linear orientation base undergoes through changes in terms of planning, reviewing, and explaining the resolution process that help students verbalize in a more comprehensive way both, the resolution method and the metacognitive processes carried out.

Resumen El presente estudio toma como objetivo describir y comparar las distintas fases de desarrollo de una base de orientación no lineal elaborada por un grupo de 25 alumnos de sexto de primaria al resolver cuatro problemas de patrones matemáticos. Se realiza un análisis cualitativo de los ítems que aparecen en las distintas fases de desarrollo de la base de orientación no lineal a partir de las producciones del alumnado y de los cuestionarios de coevaluación que sirven como método de feedback. Nuestros resultados enfatizan que, de una fase a otra, la base de orientación no lineal experimenta cambios en cuanto a la planificación, revisión y explicación del proceso de resolución que ayudan al alumnado a verbalizar, de un modo más exhaustivo, tanto el método de resolución como los procesos metacognitivos llevados a cabo.

Abstract: In this paper we explore the use of an orientation base (Jorba y Sanmartí, 1996) as a tool to promote metacognitive processes in pattern problem solving. We carried out an inductive analysis of the students’ productions with the aim of characterizing the written metacognitive processes derived from the creation and application of the instrument. This study has been carried out with 75 sixth grade students in three different centers into the metropolitan area of Barcelona. The students developed and applied an Orientation Base to solve two problems about numbering and mathematical patterns. Our results emphasize that the Orientation Base helps students to verbalize and guide the metacognitive processes during problem solving, but its linearity acts as a handicap given the nature of the problems. In conclusion, we redefine the instrument considering the non-linear heuristic need of problems. Therefore, we create a new instrument that we will call Non-Linear Orientation Base.

Resumen: En este trabajo exploramos el uso de una base de orientación (Jorba y Sanmartí, 1996) como herramienta para promover los procesos metacognitivos en resolución de problemas de patrones. Realizamos un análisis inductivo de las producciones del alumnado con el objetivo de caracterizar los procesos metacognitivos escritos derivados de la creación y aplicación de dicho instrumento. El estudio se realizó con 75 alumnos de sexto de primaria en tres centros del área metropolitana de Barcelona. El alumnado elaboró una Base de Orientación y la aplicó a dos problemas de numeración y patrones mate-máticos. Nuestros resultados enfatizan que la Base de Orientación ayuda al alumnado a verbalizar y pautar los procesos metacognitivos durante la resolución de un problema, pero su linealidad actúa como hándicap dada la tipología de problemas trabajados. Así pues y a modo de conclusión, damos un nuevo formato al instrumento adaptándolo a la necesidad heurística no lineal de los problemas, creando un nuevo instrumento al que llamaremos Base de Orientación no Lineal.

Abstract This article presents the characterization of the mathematical and pedagogical knowledge regarding the measure estimation concept possessed by the Chilean primary school teachers based on the way they propose to utilize activities aimed to work on this concept. In the analysis, we use a definition of the measurement estimation concept constructed from the previous work of different authors. The methodology is of a descriptive and interpretative nature. The results shows weaknesses in the teachers knowledge about the measurement estimate and its use in the classroom, noting that some teachers confuse the measurement estimation activities indistinctly with the measurement activities or interpreting that they are those activities in which a random response can be given without justification, evidencing the need to include measurement estimation in teacher training.

Resumen Este artículo presenta la caracterización del conocimiento matemático y didáctico sobre el concepto de estimación de medida que poseen los docentes de primaria chilenos, a partir de la forma en la que proponen utilizar actividades diseñadas y orientadas para trabajar este concepto. Para el análisis utilizamos una definición del concepto de estimación de medida construida a partir del trabajo previo de diversos autores. La metodología utilizada es cualitativa y de carácter descriptivo e interpretativo. Los resultados indican debilidades en el conocimiento de los maestros sobre la estimación de medida y su uso en el aula, constatando que algunos maestros la confunden las actividades de estimación de medida indistintamente con las actividades de medición, o interpretando que son aquellas actividades en las que se puede dar una respuesta aleatoria sin justificación, con lo que se evidencia la necesidad de incidir en la formación del profesorado respecto a la estimación de medida.

Abstract In this paper, we present an analysis of written productions of 16 year-old students while solving Estimation Problems involving Big Numbers (EPiBN). This kind of problems is a particular type of Fermi problems and allows us to introduce modelling processes in Secondary school classrooms. Our analysis supports on the characterization of mathematical models developed by students based on the model definition of Lesh and Harel. The results show that, through the analysis of EPiBN resolutions, differentiating aspects can be distinguished between the models produced by students without modelling experience of those produced by students with prior experience, especially in the concepts and language used to shape the built mathematical models.

Resumen En este trabajo presentamos un estudio en el que analizamos las producciones escritas de estudiantes de 16 años con diferentes niveles de experiencia en modelización al resolver Problemas de Estimación de Grandes Cantidades (PEGC). Estos problemas son un tipo concreto de los Problemas de Fermi y permiten introducir los procesos de modelización en las aulas de Educación Secundaria. Nuestro análisis se soporta en la caracterización de los modelos matemáticos que producen los alumnos, basada en la definición de modelo matemático propuesta por Lesh y Harel. Los resultados muestran que, a través del análisis de las resoluciones de PEGC, se pueden distinguir aspectos diferenciadores entre los modelos producidos por alumnos sin experiencia modelizadora de aquellos producidos por alumnos con experiencia previa, especialmente en los conceptos y lenguajes utilizados para dar forma a los modelos matemáticos construidos.

Dans cet article on introduit les problèmes d'estimation de grands nombres. On s'est proposé d'étudier les processus de modélisation mathématique et l'influence du contexte deces problèmes dans les résolutions des élèves de collège en Espagne. Grâce à une analyse qualitative, on est arrivé à troiscatégories pour analyser les résultats: les réponses orientées à la question, les stratégies et le succès dans la résolution. On a analysé aussi les relations entre les stratégies proposées parles élèves et les contextes des situations dans les énoncés des problèmes, ainsi que la modélisation des situations à résoudre. D'après les données recueillies par notre étude, on déduit que le contexte peut influencer les propositions de résolution des élèves. On conclut que ce type de problèmes peuvent être utilisés pour introduire la modélisation dans la salle de classe.

Neste artigo, introduzimos os problemas de estimativa de grandes quantidades. Nos propomos estudar a presençã de processos de modelização matemática e a influência do contexto desses problemas nas propostas de resolução de alunos da Educação Secundária. A partir de uma análise qualitativa,obtivemos tres categorias de análise: resposta orientada à pergunta, estratégias e êxito na resolução. Por meio desta análise, estudamos a existencia de relações entre as estratégias propostas pelos alunos e os contextos sugeridos nas situações dos enunciados dos problemas, assim como a modelização das situações dadas. Dos dados reçolhidos no nosso estudo, se deduz que eo çontexto pode influir nas propostas de resolução que os alunos fazem. Concluímos que este tipo de problemas pode ser utilizado para introduzir a modelização nas aulas.

This article introduces the problematization of estimating large numbers. We study the presence of mathematic modeling processes and the influence of context in problem solving that secondary education students propose. As a result of a qualitative analysis, we divided it into three categories: solution-focused question, strategies and a successful problem solving. This analysis allows us to study the relationships that exist between the strategies proposed by students and the context given when solving a mathematical sentence. We also study the modeling of those situations. From the data collection in this study, we implied that the context may influence the answers students propose for problem solving. We conclude that these kinds of problems may be used as a tool for introducing mathematical modeling in the classroom.

En este artículo introducimos los problemas de estimación de grandes cantidades. Nos proponemos estudiar la presencia de procesos de modelización matemática y la influencia del contexto de estos problemas en las propuestas de resolución de alumnos de Educación Secundaria. A partir de un análisis cualitativo de diferentes dimensiones de las propuestas recogidas (respuesta orientada a la pregunta, estrategias, éxito en la resolución), estudiamos la existencia de relaciones entre las estrategias propuestas por los alumnos y los contextos planteados en las situaciones de los enunciados de los problemas, y la modelización de las situaciones planteadas. De los datos recogidos en nuestro estudio se deduce que el contexto puede influir en las propuestas de resolución que hacen los alumnos. Concluimos que este tipo de problemas pueden ser utilizados para introducir la modelización en las aulas.