Resumo: Este artigo tem como objetivo apresentar parte dos estudos que foram feitos sobre as historiografias escritas pelos autores Paul Karlson, Konstantin Ríbnikov, Howard Eves e Bento de Jesus Caraça. Destacaram-se os modos de ver e conceber o conceito de função dos quatro autores. Tais estudos fazem parte de uma pesquisa de cunho teórico, caracterizada como documental e qualitativa. Consideram que as vertentes historiográficas da História da Matemática descrevem o lógico de fatos históricos que ocorreram em diversos contextos, em determinados tempos e espaços, os quais são sistematizados, de tempos em tempos. Pressupõem-se que, se as historiografias da Matemática abordam a história do conhecimento dos conceitos matemáticos, ao estudá-las, especialmente, aqueles que ensinam Matemática podem delinear alguns nexos conceituais (internos e externos) que compõem os conceitos. No caso do conceito de função, destacam-se os nexos: movimentos irregulares e regulares, interdependência, variação, campo de variação, relações e representações.

Abstract: This article aims to present some of the studies that have been done on the historiographies written by Paul Karlson, Konstantin Ríbnikov, Howard Eves and Bento de Jesus Caraça. The ways of looking at and conceiving the concept of function by those authors is underscored. These studies are part of theoretical research, characterized as documentary and qualitative. They consider that the historiographical aspects of the History of Mathematics describe the logic of infinite historical facts that occurred in diverse contexts, at certain times and spaces, which are systematized, from time to time. It is assumed that if the historiographies of Mathematics address the history of the knowledge of mathematical concepts, while studying them, especially those who teach mathematics can delineate some conceptual links (internal and external) that make up the concepts. In the case of the concept of function, the following are the nexuses: irregular and regular movements, interdependence, variation, field of variation, relations and representations.

Resumo Neste artigo, exploramos alguns aspectos associados a dois fenômenos, a aversão à matemática e a consequente renúncia a aprender a matéria, originários da relação entre a sociedade e o processo de ensino e aprendizagem de matemática. A partir de uma suposta binariedade que historicamente se acredita existir, definindo apenas os polos opostos, saber tudo e não saber nada em matemática, criam-se as condições para o disparo de um mecanismo em que, de início, se perpetua a visão corrente de que o assunto é feito somente para seres especiais e iluminados para, mais adiante, criar uma inversão de categorias entre o que é in e o que é out, relacionadas ao conjunto dos que sabem matemática e ao conjunto dos que não sabem matemática. A propósito dessa binariedade, apontamos sua impossibilidade na sociedade atual, pelo fato de não existirem mais indivíduos que saibam toda a matemática existente – o último deles, segundo alguns historiadores, teria sido Poincaré, no início do século XX – nem indivíduos sem nenhum conhecimento matemático, ainda que seja apenas um conhecimento não formal. Pela natureza dos fenômenos estudados e pelas particularidades da abordagem realizada, optamos por uma metodologia qualitativa. Além disso, discutimos no artigo o alcance e a intensidade desses fenômenos e consideramos algumas das possíveis causas e consequências dos mesmos, localizadas no processo de ensino e aprendizagem da disciplina.

Abstract In this article, we explore a few aspects associated with two phenomena, namely, aversion to mathematics and the consequent refusal to learn the subject, both originated in the relationship between society and the process of teaching and learning mathematics. Based on a supposed binariness which is historically believed to exist and defines only the opposed poles, i.e., knowing everything and knowing nothing of mathematics, the conditions are created for triggering a mechanism in which, first, there is the perpetuation of the current view that this subject is only meant for special, illuminated beings and, later, there is an inversion of categories between what is ‘in’ and what is ‘out’ regarding the set of those who know mathematics and the set of those who do not know mathematics. In respect to this binariness, we point its impossibility in today’s society, due to the fact that there are no longer individuals who know all the existing mathematics – the last one of them, according with some historians, would have been Poincaré, in the early 20th century – nor individuals without any mathematical knowledge, even if only a non-formal knowledge. Because of the nature of the phenomena studied and the specificities of our approach, we chose a qualitative methodology. Moreover, we discuss in this article the range and intensity of these phenomena and consider some of the possible causes and consequences thereof, concerning the process of teaching and learning the discipline.

Luis Radford é professor titular da Laurentian University em Sudbury, Ontário, no Canadá. Desde 1992, leciona no programa de formação de professores da École des Sciences de l’Éducation, onde é atualmente diretor e coordenador do Laboratório de Pesquisa em Semiótica Cultural e Pensamento Matemático. Professor de Educação da Universidade de Manchester, no Reino Unido, é presidente do Grupo Internacional de Estudos sobre as relações entre a História e a Pedagogia da Matemática, afiliado à International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Autor de diversos artigos científicos nos quais relaciona temas complexos como história, cultura, ensino e aprendizagem, Luis Radford é internacionalmente reconhecido como pesquisador da área da educação matemática, tendo recebido em 2011 a Medalha Hans Freudenthal do ICMI. Na entrevista concedida durante sua estadia no Brasil, em março de 2014, Luis Radford revela alguns de seus caminhos de formação e sintetiza alguns dos elementos e princípios que orientam a Teoria Cultural da Objetivação sobre os processos de ensino e aprendizagem e, em particular, de que forma essa concepção teórica se relaciona com o campo de pesquisa da educação matemática. Na entrevista, são abordadas ainda algumas estratégias e técnicas metodológicas de pesquisa com professores e alunos, em projetos longitudinais que permitem traçar o desenvolvimento cultural da criança. Por fim, o professor Luis Radford aborda questões gerais relacionadas às orientações curriculares no Brasil, compreendido como um país com importante diversidade cultural e social. A leitura dessa entrevista remete à atualidade das pesquisas sobre os processos de ensino e aprendizagem, de forma específica daqueles relacionados ao conhecimento matemático, bem como oferece elementos para a discussão sobre os processos de formação de professores que visem à formação do sujeito em suas máximas potencialidades, ainda que condicionado por determinantes sociais e culturais.

Luis Radford is a professor at Laurentian University in Sudbury, Ontario, Canada. He has taught in the Education program at The École des Sciences de l’Éducation since 1992, where he is currently director and coordinates the Research Laboratory of Cultural Semiotics and Mathematical Thinking. Education Professor of the University of Manchester in the United Kingdom, he is president of the International Study Group on Relations between the History and Pedagogy of Mathematics, affiliated to International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Author of several scientific articles in which he relates complex topics such as history, culture, teaching and learning, Luis Radford is an internationally recognized researcher in the field of mathematics education, having received the Hans Freudenthal Medal of ICMI in 2011. In an interview during his stay in Brazil, in March 2014, Luis Radford revealed some paths of his education and summarized some of the elements and principles that guide the cultural theory of objectification on the processes of teaching and learning and, in particular, how this theoretical concept relates to the research on mathematics education. He also discussed some strategies and methodological research techniques with teachers and students, in longitudinal projects that allow tracing the cultural development of children. Finally, Professor Luis Radford discussed general questions related to curriculum guidelines in Brazil, understood as a country with important cultural and social diversity. The reading of this interview points to the relevance of research on the processes of teaching and learning, specifically those related to mathematical knowledge, and provides elements for discussion about the processes of teacher education that are aimed at educating subjects to their maximum potential, in spite of social and cultural determinants.

A pesquisa sobre o perfil do educador ambiental tem exigido uma metodologia de investigação adequada para a captação de seu processo de formação. Dado que ao pesquisar a formação de professores estamos diante de algo que não está posto materialmente e tem caráter dinâmico, de que modo tomar a formação do educador ambiental como objeto de pesquisa? Para a construção de uma resposta a essa pergunta, o presente trabalho requereu instrumentos teóricos e metodológicos que possibilitassem apreender a formação do professor em sua atividade educativa. A formação do educador ambiental pressupõe um ambiente em que todos tenham voz e possam trocar experiências, rever seus conhecimentos e produzir novos sentidos a partir de uma perspectiva crítica. A constituição de uma comunidade de aprendizagem numa escola pública estabeleceu um contexto propício para a formação dos professores. Pudemos comprovar que o Horário de Trabalho Pedagógico Coletivo, quando planejado e organizado, pode intencionalmente contribuir para a formação de professores. A teoria da atividade nos forneceu subsídios tanto do ponto de vista de ensino, ao proporcionar embasamento para a organização de encontros com professores de ensino médio, sempre levando em conta a intencionalidade da formação, quanto do ponto de vista metodológico, ao possibilitar a apreensão de nosso objeto, ou seja, o processo de formação em seu movimento. Na interação entre os sujeitos, foi possível a ampliação de seus pontos de vista e a ocorrência de mudanças de sentidos relacionados a temas ambientais. Um sujeito, ao evocar um pensamento, uma reflexão, possibilita que os demais revisitem seus posicionamentos e conhecimentos. Assim, formam-se conhecimentos - e, consequententemente, indivíduos - com qualidade nova.

Research on the profile of environmental educators has required a research methodology appropriate for capturing their training process. Since when researching teacher education we are before something that is not materially established and is dynamic, how can one take the training of environmental educators as a research object? To construct an answer to this question, this study required theoretical and methodological tools that enabled grasping the training of teachers in their educational activities. The training of environmental educators requires an environment in which everyone has a voice and can share experiences, review their knowledge and produce new meanings from a critical perspective. The creation of a learning community in a public school established a favorable context for teacher education. We confirmed that, if planned and organized, Horário de Trabalho Pedagógico Coletivo (Collective Pedagogical Worktime) can intentionally contribute to teacher education. Activity theory offered resources both from the point of view of teaching, by providing a basis for the organization of meetings with secondary school teachers, always taking into account the intentionality of training, and from the methodological point of view, by allowing us to grasp our object, that is, the training process in its movement. In the interaction between subjects, they were able to expand their views and there were changes of meanings related to environmental issues. When evoking a thought, a reflection, a subject enables the others to revisit their positions and knowledge. Thus, knowledge is formed with new quality and so are individuals.

O artigo apresenta uma pesquisa de doutorado que investigou o processo de formação de professores de matemática em atividade de ensino, ao elaborarem coletivamente situações desencadeadoras de aprendizagem. Fundamentando-se na teoria histórico-cultural e na Teoria da Atividade, elaborou-se uma proposta de formação continuada de professores, ancorada nos conceitos de trabalho e atividade, que se constituiu no campo empírico da investigação. Na análise comparativa dos dados provenientes de elaborações coletivas e socializações das propostas de ensino, buscaram-se evidências que revelassem mudanças no movimento de organização das ações dos professores. Os resultados evidenciam que, na (re)organização coletiva de suas ações, os professores atribuíram novos sentidos às próprias ações, à mediação e à escolha de instrumentos, apropriando-se das formas de realização colaborativa da atividade de ensino. Nesse percurso de formação, o novo fazer dos professores constituiu-se, de forma mediada, na práxis pedagógica, o que corrobora o coletivo como espaço de produção de conhecimento.

The research described investigated the process of the training of teachers within a teaching activity, while collectively elaborating on trigger-learning situations. The proposal was for continual formation of teachers, based in historic-cultural theory and the theory of Activity, supported by the concepts of work and activity. In the comparative analysis of the teaching proposals and the socialization process, we sought evidence that would reveal the changes in the movement of the organization of the teachers' actions. The results show that in a collective (re)organization of their actions the teachers attributed new understandings to their own actions, to the mediation and to the choice of tools, appropriating for themselves the collaborative forms of the teaching activity. In this formation process, the new practices of the teachers were mediated into the pedagogical praxis that strengthens the meaning of collective as a knowledge production space.

A pesquisa apresenta a análise de uma investigação didática, nas séries iniciais do Ensino Fundamental, que identifica a essência das ações e operações na atividade de ensino. Estas criam condições favoráveis para o desenvolvimento do pensamento teórico de estudantes e educadores a partir das mediações instituídas na relação ensino e aprendizagem. O objetivo da pesquisa é investigar os diferentes tipos de mediação simbólica na atividade pedagógica. Estes criam condições para o desenvolvimento do pensamento como um dos processos psicológicos superiores do gênero humano a ser desenvolvido no contexto escolar. O método de investigação fundamenta-se no materialismo histórico-dialético, na psicologia histórico-cultural e na teoria da atividade como instrumentos de análise da constituição da individualidade humana. No campo empírico, é realizado um estudo comparativo entre dois momentos distintos da investigação didática, tendo em vista a lógica que fundamenta a organização do ensino. Isso possibilita mudanças de qualidade na apropriação de conceitos, expressas pelas manifestações do pensamento nas formas de juízo, conceito e dedução. Os resultados identificam como mediações simbólicas as relações dos sujeitos com o objeto de estudo historicizado e as ações e operações coletivas e cooperativas dos sujeitos nos aspectos cognitivo, volitivo e afetivo. Como conclusão, considera-se que essas mediações somente se efetivam a partir da apropriação de conhecimentos teórico-científicos por parte dos educadores, pois estes promovem a criação de condições e circunstâncias que possibilitam a efetivação de um sistema integrado, instituindo práticas sociais no contexto escolar que viabilizam a superação das condições alienantes próprias do sistema escolar vigente e da sociedade contemporânea.

This research presents an analysis of a didactic investigation of the first series of Fundamental Education that tries to identify the essence of actions and operations in the activity of teaching. From the mediations instituted in the teaching and learning relationship, these actions and operations create conditions conducive to the development of theoretical thinking among students and educators. The object of this study is to investigate the different kinds of symbolic mediation in the pedagogical activity. They create the conditions for the development of thinking as one of the superior psychological processes of the human genre to be stimulated in the school context. The method of investigation is based on the dialectical historical materialism, on cultural-historical psychology, and on activity theory as instruments of analysis of the constitution of human individuality. On the empirical side, a comparative study is carried out between two distinct moments of the didactic investigation, taking into account the logic that underlies the organization of teaching. This brings changes in the quality of the appropriation of concepts, expressed in the manifestations of thought in the forms of judgment, concept and deduction. The results identify as symbolic mediations the relations of the subjects with the historicized object of study, and the collective and cooperative actions and operations of the subjects in the cognitive, volitional, and affective aspects. In conclusion, the text asserts that these mediations only become effective after the appropriation of theoretical-scientific knowledge by the educators, since the latter promote the creation of conditions and circumstances that make it possible to establish an integrated system, instituting social practices into the school context that help to overcome the alienating conditions inherent to the current school system and to contemporary society.

Neste artigo relatamos uma investigação, realizada com estudantes de 8ª série de uma escola pública, sobre o papel dos conhecimentos prévios e das interações sociais na aprendizagem do conceito de função. Comparando momentos de trabalho individual com situações de interação constatamos que a interação possibilitou um movimento de compreensão do conceito, no sentido da abstração e de generalização, que não ocorreu na situação de trabalho individual.

This paper reports a research about the influences of previous ideas and social interaction in learning of function concept carried out with 8th grade students of a public school. Comparing moments of individual work with interactions situations we observed that the circumstances where interactions occurs, a greater comprehension of concept and how it enables abstraction and generalization was made possible whereas this did not occur in the situation where individual work was carried out.