Testes de comparações múltiplas entre médias de tratamentos são de grande interesse na pesquisa aplicada. Duas propostas de modificação do teste de Tukey são apresentadas e, usando-se simulação pelo método Monte Carlo, foi comparado o poder dos testes estatísticos: Student unilateral e bilateral, Waller-Duncan, Duncan, SNK, REGWF, REGWQ, Tukey, Bonferroni, Sidak, Dunnet unilateral, e dos testes modificados de Sidak, Bonferroni 1 e 2 e Tukey 1 e 2. Foram gerados dados para 600 experimentos em um delineamento casualizado em blocos com oito tratamentos, sendo 400 com quatro repetições e 200 com oito repetições. Foram adotados coeficiente de variação de 10% e erro tipo I com probabilidade α = 0.05. As diferenças entre as médias dos tratamentos e o controle foram de 30%, 20%, 15%, 10%, 5%; sendo, ainda incluídos, dois tratamentos que, parametricamente, não diferiram da média do controle. Para todos os testes, o poder decresceu quando as diferenças das médias em relação à média do controle decresceram; pela ordem, t de Student unilateral, t de Student bilateral e Waller-Duncan apresentaram maior número de diferenças significativas; seguindo-se Duncan, Dunnett unilateral, Sidak modificado e Bonferroni modificados 1 e 2 e Tukey modificado 1, SNK, REGWF, REGWQ, Tukey modificado 2 e os testes de Tukey, Sidak e Bonferroni. Houve grande perda de eficiência para todos os testes em relação ao teste t de Student unilateral, usado para comparar cada tratamento com o controle, quando o valor da diferença entre médias diminui. Os testes modificados foram sempre mais eficientes do que os respectivos testes originalmente propostos.

Multiple pairwise comparison tests of treatment means are of great interest in applied research. Two modifications for the Tukey test were proposed. The power of unilateral and bilateral Student, Waller-Duncan, Duncan, SNK, REGWF, REGWQ, Tukey, Bonferroni, Sidak, unilateral Dunnet statistical tests and the modified tests, Sidak, Bonferroni 1 and 2, Tukey 1 and 2, has been compared using the Monte Carlo method. Data were generated for 600 experiments with eight treatments in a randomized block design, of which 400 had four and 200 eight blocks. The differences between the treatment means in relation to the control were 30%, 20%, 15%, 10%, 5%. Two extra treatments did not differ from the control. A coefficient of variation of 10% and a probability Type I error of α = 0.05 were adopted. The power of all the tests decreased when the differences to the control, decreased. The unilateral and bilateral Student t, Waller-Duncan and Duncan tests showed greater number of significative differences, followed by unilateral Dunnett, modified Sidak, modified Bonferroni 1 and 2, modified Tukey 1, SNK, REGWF, REGWQ, modified Tukey 2, Tukey, Sidak and Bonferroni. There is great loss of efficiency for all tests in relation to the unilateral Student t test for each difference of the treatment to the control, when the differences between means decrease. The modified tests were always more efficient than their original ones.

Para a comprovação de hipóteses, experimentos são conduzidos e os resultados obtidos analisados estatisticamente. Entende-se que, em função dos testes utilizados, muito material de importância prática tem sido descartado. Neste estudo, dois testes de Bonferroni Modificados e um teste de Sidak Modificado foram desenvolvidos, o poder desses testes avaliados através da simulação de 1.200 experimentos e sua eficiência comparada às de testes de significância mais conhecidos. As diferenças das médias foram, todas elas, obtidas em relação à média do tratamento controle de forma a garantir, parametricamente, a magnitude das diferenças. O teste de Student (do tipo erro I, por comparação), Waller-Duncan teste (erro de natureza bayesiana) mostraram mais alta porcentagem de diferenças significativas seguida pelos testes de Duncan, BM2, SiM, BM1, Dunnett, SNK, REGWF, REGWQ, Tukey, Sidak e Bonferroni. Para diferenças iguais a zero, os testes de Student, Waller-Duncan exibem frequência de rejeição da hipótese nula próxima a 0,05, de acordo com o erro tipo I adotado (alfa = 0,05). Os outros testes exibem valores < 0,05, quase todos com valores entre 0,01 a 0,02 ou menos. Considerando o erro experimental tipo I, por experimento, os testes de Student, Waller-Duncan e Duncan exibem, para diferenças nulas, valores crescentes de erro I, proporcional ao número de diferenças nulas incluidas nos experimentos; os demais testes mostram valores para o erro "experimentwise" < 0,05 muitos deles entre 0,01 e 0,02 ou menos. Os três "Testes Modificados" tiveram eficiência próxima do teste de Dunnett unilateral, porém maior eficiência que os demais testes do tipo "experimentwise" (MEER).

Results of practical importance had been discarded testing formulated hypothesis with the aid of statistical analysis of experimental data because of the power of the utilized test. This study compares the power of two Bonferroni's Modified and one Sidak's Modified tests with known tests analyzing 1200 simulated experiments. All differences of means were obtained in relation to the mean of the adopted control to guarantee parametrical magnitude of mean differences. Student's test (type I comparisonwise error) and Waller-Duncan's (Bayesian error) showed the highest percentage of significative differences, followed by Duncan's, BM2, SiM, BM1, DunnettU's, SiN, BN, Dunnettu's, SNK's, REGWF's, REGWQ's, Tukey's, Sidak's and Bonferroni's tests. For differences equal to zero, Student's and Waller-Duncan's test exhibit 5% frequency of rejection of the null hypothesis, in accordance the nominal error I adopted (alpha = 0.05). All other tests had values below 0.05, generally ranging on 0.01 to 0.02 or less. Depending of the number of zero differences and considering the type I experimentwise error I, Student's, Waller-Duncan's and Duncan's tests showed crescent values of errors (> 0.05), proportional to the number of null differences included in the experiment; all other tests exhibit showed of type I experimentwise error < 0.05, most nearing 0.01-0.02 or less. Efficiency of the three "Modified Tests" was close to DunnettU's test, but higher than the other testes of type I experimentwise error nature (MEER).

Com o objetivo de determinar o efeito da rotação no rendimento das culturas de algodão, amendoim, arroz, cana-de-açúcar e milho, instalou-se em Campinas, São Paulo, Brasil, um experimento avaliado durante 11 anos (1963/64 a 1974/75), seguido de análise do efeito residual dessa prática (1975/76), tomando, como indicador da fertilidade do solo, o rendimento de grãos de milho, semeado em todas as parcelas. No planejamento do experimento, em blocos casualizados com vinte tratamentos e quatro repetições, considerou-se que todos os tratamentos devem estar presentes em todos os anos, a fim de avaliar com eficiência e maior rapidez o efeito da rotação. Os resultados evidenciaram que as culturas contínuas, apenas com adubação mineral, levaram à redução significativa da produção no decorrer dos anos. Os tratamentos com calagem inicial e adubação mineral anual mantiveram a produtividade média, apesar das grandes oscilações anuais da produção. O efeito da rotação, quando praticada com calagem inicial e adubação mineral anual, levou a uma produtividade satisfatória ao longo dos anos, bem superior à do cultivo contínuo de cada uma das culturas, principalmente quando as culturas anuais não receberam a calagem inicial.

With the goal of determining the crop rotation effects on cotton, peanut, rice, sugar cane and maize yields, a rotation experiment was established in Campinas, State of São Paulo, Brazil, for eleven years (1963/64 to 1974/75). The residual effect was determined by planting maize on all experimental plots in the following year (1975/76). The experimental design was randomized blocks with twenty treatments and four replications, spanning all treatments in all years in order to have an efficient and faster evaluation of the crop rotation effects. The results showed that the continuous cropping with mineral fertilizer applied annually led to a significant decrease of crop yield. However, when this continuous cropping received an initial liming, the average crop yield was maintained throughout the years. The crop rotation effect, with initial liming and mineral fertilization resulted in a significant increase in crop yields when compared with the individual crop that received only mineral fertilization.

Em trabalhos de melhoramento de plantas autógamas, na fase do chamado processo reducional, procura-se separar as melhores linhagens e eliminar as menos promissoras, reduzindo, assim, o número de seleções para plantio nos próximos ciclos. No presente trabalho, por processo de simulação, estudou-se o poder discriminativo da posição de classificação na separação das melhores linhagens nos ciclos intermediários do melhoramento de plantas. Consideraram-se, ao todo, três ciclos de seleção e três grupos, definidos pelo número de seleções a avaliar nos vários ciclos e pelos diferentes níveis de porcentagem de seleção. No terceiro ciclo, além da escolha pelo posto, utilizaram-se, também, os testes estatísticos de Student, Duncan, Dunnett (unilateral), SNK e Tukey. Para evitar escape dos melhores materiais, recomenda-se, em função dos resultados, que, quando as seleções forem muitas no primeiro ciclo, sejam alocadas em três ou quatro experimentos menores, sempre com a presença do controle, empregando 40% de indivíduos selecionados. Na etapa final da escolha das seleções, procurou-se, por simulação, estudar o poder discriminativo dos testes estatísticos utilizados no terceiro ciclo, para diferenças de 15, 12,5, 10, 7,5, 5 e 2,5%. Foram estudados experimentos individuais e grupos de experimentos em que o coeficiente de variação foi de 10, 15 e 20%. Na análise conjunta de grupos, considerando três experimentos e três anos, o poder discriminativo foi bem mais alto que nos individuais, para todos os testes, com valores iguais a 78% ou maiores, quando o C.V. foi de 10% e as diferenças, iguais ou maiores que 7,5%.

Aiming at studying the criteria of selection ranking in the intermediate cycles of plant breeding, 900 experiments simulated in randomized complete block designs considering a coefficient of variation of 10%, and differences of 17% to -17%, between the mean of the lines and the mean of the control. Three cycles of selection and three line groups within each cycle were considered the first with 36, the second with 143 and the third with 134 selections, in the first cycle. The percentage of selection at the end of the 1st cycle, was 31.4, 10.6 and 11.3% for each group, and, at the end of the 2nd cycle, 45.4% for the 1st group and 40% for the other two. In the 3rd cycle, the discriminative power of `t' the tests Student, Duncan, Dunnett (unilateral), SNK and Tukey were also studied . The results indicated, that for one hundred or more selections in the firsts cycle, they must be allocated in 3 or 4 small experiments including the control, using a 40% intensity of selection. In the final stage of selection differences of 15, 12.5, 10, 7.5, 5 and 2.5% were considered. The discriminative power was evaluated using the same statistical tests of the 3rd cicle. Coefficients of variation of 10, 15 and 20% for 2,700 simulated individual experiments considering three types of years (good, normal and bad). Groups of nine experiments were analyzed and the discriminative power of the tests evaluated: in the individual experiments it was variable, with differences due to the type of year and coefficient of variation. The discriminative power of the different tests increased in the groups of experiments up to or above 78%, when the C.V. was 10% and differences were equal to or greater than 7.5%.

Em experimentos de campo, é freqüente o aparecimento de tratamentos com variâncias heterogêneas, decorrente, muitas vezes, do tipo dos tratamentos que estão sendo estudados. Os dados desses ensaios são usualmente submetidos à análise da variância, cuja aplicação correta exige que as observações tenham uma variância comum. A falta de homogeneidade pode surgir, também, segundo alguns autores, quando, os erros experimentais têm distribuição assimétrica. A falta de normalidade dos erros tem sido considerada como um fator que pode distorcer os resultados de testes empregados para verificar a hipótese de igualdade de médias ou das variâncias. Para avaliar a influência da falta de normalidade sobre os testes de Bartlett, Cochran e Hartley (Fmáx), com e sem correção para blocos, e os de Han e de Shukla, também indicados para verificar a hipótese de nulidade das variâncias homocedásticas, foram simulados 6.000 experimentos em blocos ao acaso. Na simulação, foram considerados dois níveis de precisão experimental, três magnitudes de efeitos de blocos e cinco níveis de assimetria e curtose, incluindo assimetria zero e curtose três. Em todos os testes, à medida que se aumentou a assimetria positiva e a curtose, cresceu a porcentagem de rejeição da hipótese de variâncias iguais, sendo esse aumento maior no teste de Shukla e nos de Bartlett, Cochran e Fmáx aplicados sem a correção para blocos, principalmente quando o efeito de blocos foi pequeno. As porcentagens de rejeição, pelo teste de Han, nos diferentes níveis de assimetria e curtose, não diferiram das obtidas pelo Fmáx, com correção, e estiveram próximos dos resultados dos testes de Bartlett e Cochran, feitos também com correção; nestes, as porcentagens de rejeição da hipótese de variâncias iguais foram superiores à esperada, de 5%, quando os coeficientes de assimetria e de curtose foram maiores que 1,11 e 4,04 respectivamente. Quando o efeito de blocos foi pequeno, os testes sem correção superestimaram as porcentagens de rejeição da hipótese de nulidade de variâncias iguais.

The mean and standard deviation of distributions with five different levels of assimetry and kurtosis were used to simulate 6,000 experiments, in a randomized complete block design with five treatments and six replications, considering two levels of precision and three levels of block effects. The tests of homogeneity of variance proposed by Han and Shukla, for randomized block design, and those of Bartlett, Cochran and Hartley, developed for one-way classification were applied to the simulated data. The last three tests were also used after correcting for block effects. The amount of rejection of the null hypothesis increased with the levels of assimetry and kurtosis in all tests. The percentage of rejection of the hypothesis of homogeneity of variances using Shukla's test and those of Bartlett, Cochran and Hartley, without block correction, were strongly affected by non-normality mainly when the block effect was small. The rejection of the null hypothesis when used Han's test or those of Bartlett, Cochran and Hartley tests, adjusted for block effects, were larger than 5% when the coefficients of assimetry and kurtosis were higher than 1.11 and 4.04 respectively.

Para verificar se a pequena influência da heterogeneidade das variâncias, observada em trabalho anterior, sobre os testes de Bonferroni, "t" e Tukey se devia ao fato de ter sido utilizado o erro médio que corresponde ao quadrado médio da interação tratamentos x blocos (Q.M. trat x bloco), os autores estudaram o comportamento do teste "t" com o uso de três tipos de erro: Q.M. trat x bloco, erro do contraste específico e erro ponderado dos contrastes. Foram simulados 200 experimentos, em grupos de 50, para cada uma das 56 combinações de quatro coeficientes de variação, dois efeitos de tratamentos e sete grupos de heterogeneidade, totalizando 11.200 experimentos. Foi feita a análise da variância de cada ensaio e estudados os seguintes contrastes: m1 - m3 e m2 - m3, onde m3 representa a testemunha. "A priori" foi estabelecido que o tratamento 1 seria superior à testemunha nas quantidades de 8 e 17% (para os efeitos 1 e 2 respectivamente) e o tratamento 2, nas quantidades de 5 e 12% (para os mesmos efeitos). Assim, foi empregado o teste t, unilateral, para comparação das médias nos dois contrastes. Na presente pesquisa, são válidas as seguintes conclusões: as diferenças nas porcentagens de rejeição com os três tipos de erro praticamente inexistem; as relações de variâncias com valores maiores que 6 podem ser consideradas heterogêneas, quando utilizado o erro do contraste; a porcentagem de rejeição obtida é indiretamente proporcional ao coeficiente de variação e diretamente proporcional à magnitude dos contrastes, mesmo em condições de heterogeneidade de erros.

It was observed previously a small effect of heterogeneous variances on the Bonferroni's test, Student "t" test and Tukey's test. In this paper, it was tested whether such observation was due to the fact that the error used for the tests was the treat. x block interaction mean square besides the existence of certain heterogeneous variances. The authors considered the existence of the following situations: a) two groups of variance in each experiment, and b) three kinds of errors for "t" test: treat. x block interaction mean square, specific contrast error for each comparison; and, pooled contrast error. It was simulated two hundred experiments, in groups of 50, for each of 56 combinations of four coefficients of variation, two treatment effects and seven groups of heterogeneous variances, performing a total of 11,200 simulations. In the analysis of variance, for each experiment, the following contrasts between means were considered: m1 - m3 and m2 - m3, where m3 represents the control treatments mean. The two treatment means m1 and m2 were considered "a priori" more productive than the control by 8% and 5% (effect 1) and by 17% and 12% (effect 2), respectively for m1 and m2. Thus, the one tail "t" test was applied. From the results observed, it was concluded that: a) non significant differences occurred concerning the percentages of rejections of the null hypothesis using any of the three errors considered; b) the relation among variances greater than 6 was statistically heterogeneous, when the error used was that of specific contrast error; and c) the percentages of rejections obtained were indirectly proportional to the coefficients of variation and directly proportional to the range values of contrasts between means, even in case of heterogeneous error conditions.

A análise clássica de grupos de experimentos constitui um dos problemas mais sérios com que se defrontam os estatísticos, fitotecnistas e melhoristas de plantas. Vários métodos têm sido propostos para contornar os problemas que podem surgir na análise conjunta e que tomam, muitas vezes, complicada a comparação entre médias. O desenvolvido por Fisher permite combinar a probabilidade dos resultados de testes de comparação de médias ou testes de contrastes, independentemente, entre outros fatores, do tipo de teste e de experimento, do número de repetições, da existência de erros experimentais diferentes ou de interações. Neste trabalho, procurou-se avaliar a importância da precisão experimental, da média geral do experimento e da amplitude das diferenças entre o tratamento-controle e os demais tratamentos sobre o poder discriminativo do teste de combinação de probabilidades, de Fisher, quando empregados o teste 't' de Student e o de Bonferroni. Na sua aplicação, foram considerados três estratos, definidos em função do coeficiente de variação, da média do experimento e da magnitude dos contrastes, o que corresponde a condições favoráveis, medianamente favoráveis e desfavoráveis ao desenvolvimento da cultura. Tais condições poderiam ser, entre outras causas, devidas a variações de solo, clima ou ambos. Foram feitos agrupamentos de experimentos dentro de um mesmo estrato (bom, médio ou ruim) e de estratos diferentes. A partir da simulação de 2.160 experimentos em blocos ao acaso, com seis tratamentos e quatro, oito ou doze repetições, foram obtidos os seguintes resultados: o teste t apresentou, em qualquer tipo de agrupamento, poder discriminativo maior ou igual ao de Bonferroni; as magnitudes dos coeficientes de variação e dos contrastes a eles associados tiveram grande influência sobre o poder discriminativo dos testes efetuados; nos agrupamentos de três anos que incluíram anos bons (B) médios (M) e ruins (R), quando utilizado um mínimo de oito repetições e considerado o contraste referente à maior diferença entre médias, obteve-se, com o uso do teste de combinação de probabilidades, poder discriminativo superior a 90% para o teste t e maior que 80% para o de Bonferroni; nos agrupamentos de 4 e 5 anos dos tipos BMMR e BMMMR, considerando, também, a maior diferença entre médias, o poder discriminativo do teste t foi superior a 80% com oito repetições, sendo necessárias doze repetições no de Bonferroni para obter o mesmo resultado.

The classical analysis of series of experiments presents some levels of complications due, among several reasons, to the possibility of existence of heterogeneity of variances from place to place, lack of homogeneity of errors from one season to another or different number of treatments or replications in each place. Fisher developed a method, to analysis series of experiments, that combine the probability of the means tests results or tests of contrasts, independently of the test used, the number of replications, the structure of the experiments or the presence of interactions. In order to evaluate the influence of the experimental precision, the magnitude of the general mean of the experiment and the magnitude of the contrasts between the control and another treatment mean on the test proposed by Fisher, using the 't' test of Student and that of Bonferroni, it was simulated 2,160 experiments in completely randomized block design with six treatments and three different number of replications, four, eight and twelve. The combined analysis was made considering three strata defined by the precision and level of yield production: good (B), median (M) and low (R). The experiments were grouped within each strata, for example, three years (BBB), (MMM) or (RRR) and another group considering different strata (BMR). The results showed that the magnitude of the coefficient of variation and the magnitude of the contrasts were very important on the discriminative power of the tests used; when the groups were formed by experiments from three different levels of precision and yield, using at least eight replications and considering the highest value of the contrast between means, the use of the test of combining probabilities showed that the discriminative power of the Student "t" test was greater than 90% and that of Bonferroni's was greater than 80%; when it was combined four or five experiments including more than one experiment of median precision the discriminative power of the "t" test was greater than 80% when the number of replication used was eight, but it was needed twelve replications for Bonferroni's test.

Uréia, sulfato de amônio, salitre-do-chile e Nitrocálcio, nas doses de 75, 150, 225 e 300kg de nitrogênio por hectare, foram aplicados em experimentos com café Mundo-Novo, instalados em Latossolo Roxo da região de Ribeirão Preto e em Podzólico Vermelho- Amarelo orto da região de Mococa (SP). As produções foram crescentes com os aumentos de nitrogênio aplicado, sendo que as respostas para suas maiores quantidades foram maiores no Podzólico Vermelho-Amarelo orto. O sulfato de amônio, o Nitrocálcio e a uréia mostraram-se superiores ao salitre-do-chile no Podzólico Vermelho-Amarelo orto, apesar de a uréia não apresentar diferenças significativas relativamente ao salitre-do-chile. Em Latossolo Roxo, conquanto houvesse a mesma tendência, as diferenças não foram significativas. O parcelamento das doses de nitrogênio não beneficiou a produção no Latossolo Roxo, porém as produções correspondentes ao parcelamento em quatro vezes foram maiores no Podzólico Vermelho -Amarelo orto.

Ammonium nitrate limestone (ANL), ammonium sulphate, Chilean nitrate and urea at rates of 75, 150, 225 and 300 kilograms of nitrogen per hectare, splitted in 1, 2, 3 and 4 applications were used in field experiments with coffee trees, in two soils: in a Red Latosol in Ribeirão Preto and in a Red Yellow Ortho-Podzolic in Mococa, Sate of São Paulo, Brazil. In Ribeirão Preto, the experiment was set up in December 1957 and the grain yields were recorded from 1960 to 1969. In Mococa, the experiment was set up in 1960 and the grain yields were recorded from 1962 to 1971. The grain yields of coffee increased with the increases in the nitrogen rates applied. The yield responses to high nitrogen rates were greater in the Red Yellow Ortho-Podzolic soil than in the Red Latosol. Ammonium sulphate and ANL resulted in better yields than Chilean nitrate in the Red Yellow Ortho-Podzolic soil. Urea increased coffee yields above those obtained with Chilean nitrate, but the differences were not significant. No significant effects of nitrogen sources were observed in the Red Latosol. The practice of splitting the total quantities of nitrogen did not affect the grain yields of coffee in the Red Latosol. In the Red Yellow Ortho-Podzolic soil, grain yields were higher when nitrogen was splitted in four applications.

No presente trabalho, os tratamentos do delineamento fatorial fracionado (1/5) (5x5x5), obtido pela superposição de três quadrados latinos ortogonais, são colocados em cinco blocos, com a utilização de um quarto quadrado latino ortogonal. Um modelo quadrático em X foi usado para estudo da superfície de resposta, sendo considerados polinômios ortogonais linear e quadrático para cada um dos fatores e para blocos, uma vez que, em ensaios de campo, a maior parte do gradiente de fertilidade ou de outras causas sistemáticas pode ser eliminada com a estimação desses dois efeitos; foram ainda colocadas no modelo as interações lineares de dois fatores. Somente os efeitos lineares são estimados independentemente, e foram dadas, para cada fator e para blocos, as matrizes para cálculo dos efeitos quadráticos ajustados. Quando é eliminada do modelo uma das interações de dois fatores, o efeito quadrático do fator restante passa a ser estimado independentemente. Se o quarto índice for utilizado como outro fator, tem-se o delineamento (1/25) (5 x 5 x 5 x 5), completamente casualizado; este permite o estudo simultâneo de quatro fatores em cinco níveis, com apenas vinte e cinco pontos experimentais; o modelo contém efeitos lineares e quadráticos dos quatro fatores e as interações lineares desses fatores dois a dois. Se nos delineamentos (1/51 (5 x 5 x 5), divididos em cinco blocos, e (1/25) (5x5x5x5) completamente casualizado, todas as interações de dois fatores forem não-significativas, o modelo ficará só com os termos lineares e quadráticos puros, e estes poderão ser estimados independentemente, à semelhança do que ocorre com o (1/5) (5x5x5) completamente casualizado.

Statistical solutions for quadratic and square root polynomials of second order for a group of (1/5) (5x5x5) fractional factorials when the design is completely randomized is briefly considered in this text. The extension of the fractional factorial (1/5) (5x5x5) to a type of block design with utilization of the quadratic polynomial model in order to eliminate linear and quadratic effect of gradient or other systematic causes is proposed, its statistical analysis developed and the detailed solution presented. Using proper range of dosages in order to eliminate large areas of plateau response stimulus as happens in nutrient experiments or fertilizer experiments, this design makes feasible efficient estimation of the coefficients that measure the curvature of the response functions on the area of economical decision. So better solution in the determination of the dosage of nutrients to achieve maximum response or the dosages that determine the optimum economical response are achieved with experiments of medium size. This design will fit well those cases in which the use of three factors at several levels each is desirable and where the presence of treatments in which the dosages vary simultaneously for the three factors is important (area of higher probable response in the case of nutrients, for example) and the remaining treatments are uniformly spread inside the cube of the area of stimulus, under investigation. Using the property of the four orthogonal latin-squares as presented by Fisher and Yates, the fractional factorial (1/25) (5x5x5x5) designs were proposed as a completely randomized type; they allow the simultaneous study of four factors at five levels each, with a reduced number of points.

Na família dos delineamentos compostos centrais, os compostos centrais ortogonais são mais eficientes que os outros e a estimação dos coeficientes do modelo é facilmente obtida. Dentro da família dos delineamentos compostos centrais ortogonais, os compostos centrais ortogonais rotacionais apresentam algumas vantagens adicionais, principalmente uma uniformidade de variâncias para os pontos que se encontram à mesma distância do centro do delineamento. A obtenção das propriedades ortogonalidade, rotacionalidade e partição em blocos torna o delineamento mais eficiente e aplicável naqueles casos em que possam existir gradientes como o de fertilidade, no caso da experimentação de campo. A partição em dois, três ou cinco blocos é, então, altamente desejável. Delineamentos com essas três características foram conseguidos para determinadas combinações de valores, sendo os resultados mais interessantes apresentados no quadro 1 para k = 2, 3, 4, 5, 6 e 7; os resultados que apresentam um asterisco representam delineamentos ortogonais, quase rotacionais e subdivisíveis em blocos, de forma quase perfeitamente ortogonal (as covariancias entre os coeficientes quadráticos puros e os coeficientes de blocos são quase nulas); para fins práticos, esses delineamentos poderiam ser tratados como se fossem ortogonalmente subdivididos em blocos. As soluções obtidas implicam a exigência de ser alocado certo número de pontos centrais; esses pontos, por sua vez, possibilitam uma estimativa precisa do erro e o teste de adequação do modelo.

In the family of central composite designs, the orthogonal central composite is more efficient than the others, and the estimation of the coefficients is easily obtained. Inside the family of orthogonal central composite designs the rotatable orthogonal central composite have some additional advantages, regarding uniformity of variances of the points at the same distance from the center of the design. Putting together the conditions for rotatability, orthogonality and blocking, through the choice of an adequate number of points, designs are obtained that satisiy the three specifications and that may be divided in 2, 3 or 5 blocks. Some of them represent designs with orthogonality, near rotatability and very near orthogonal blocking (the covariances between the pure quadratic and the block coefficients are so small that, for practical purposes, the design can be analysed as if it was orthogonally blocked). In fertilizer experiments, orthogonality, rotatability and blocking are very important; the solutions presented may be useful for research workers interested in central composite designs with the characteristics pointed out and that are blockable. They present also the possibility of obtaining a precise estimate of the error and the test of adequacy of the model.

O presente artigo trata de um tipo de delineamento denominado "composto central duplo", basicamente simétrico, constituído de dois fatoriais (ou fatoriais fracionados) nos níveis ±1 e ±W, duas estrelas nos níveis ±a e ±ga para cada fator e pontos centrais, e podendo apresentar cinco, sete ou nove níveis para cada fator. Devido à maior flexibilidade desse tipo de delineamento em relação ao composto central, propriedades como ortogonalidade dos coeficientes, subdivisão ortogonal em blocos e rotacionalidade são mais facilmente integradas no mesmo delineamento. Como podem ser estabelecidos com uma parte fracionada de um fatorial completo, esses delineamentos podem explorar um maior número de níveis na amplitude de variação que se pretende pesquisar, com um número um pouco maior de pontos que o delineamento composto central correspondente. Na Agricultura, em contraste com os experimentos tecnológicos e, principalmente, nas pesquisas com fertilizantes, devido à variabilidade do solo e do clima, os experimentos devem ser efetuados com a utilização dos tratamentos do delineamento colocados, todos, de uma só vez. As respostas obtidas podem ser mais altas, na amplitude estudada, nos anos bons, e, nos anos ruins, de menor magnitude, ascendente e com resposta em uma amplitude menor, apresentando, em certos casos, uma "resposta em platô" para as dosagens mais altas. O delineamento composto central duplo pode adaptar-se melhor a essa peculiaridade, porque, pela sua estrutura, utiliza maior número de pontos na amplitude de dosagens utilizada. Se uma calibração adequada foi originalmente adotada e o ano agrícola muito bom, a amplitude maior utilizada capta a resposta aos fertilizantes em toda a extensão pesquisada; se o ano foi ruim, a resposta aos fertilizantes é de menor magnitude e, provavelmente, com resposta da "curva em platô" para as dosagens mais altas; a análise do delineamento como um todo pode causar, nesse caso, um "viés" nos coeficientes do modelo, e a determinação da dosagem econômica fica prejudicada; nesse caso, o delineamento proposto torna possível contornar o problema, efetuando a análise da parte central do delineamento como um delineamento composto central simples, usando os níveis ±1 para a parte fatorial e ±a para a axial, possibilitando a obtenção de uma estimativa justa (não enviesada) dos coeficientes do modelo e uma determinação mais precisa das dosagens econômicas; para a mesma amplitude estudada, isso não poderia ser obtido caso se utilizasse um delineamento composto central ou um fatorial 3 x 3 x 3. Basicamente, este artigo apresenta três tipos de delineamento; no quadro 1, delineamentos que, além de ortogonais, são subdivísíveis em dois, três ou cinco blocos: os níveis foram escolhidos de forma a que os níveis W da parte fatorial sejam menores que dois (níveis mais altos são raramente utilizados na prática). Os delineamentos do segundo grupo (Quadro 2) são ortogonais, divisíveis ortogonalmente em blocos, com os pontos da parte fatorial inseridos em duas hiperesferas de raios a = Ök e ga»WÖk, contendo dois ou quatro pontos centrais; esses delineamentos podem ser considerados como constituídos de dois delineamentos compostos centrais, apresentando, cada um deles, segundo LUCAS (7), eficiência do tipo D-ótimo. No terceiro grupo, incluídos no quadro 3, os delineamentos são ortogonais, subdivísíveis ortogonalmente em blocos e com rotacionalidade plena ou quase plena (marcados com um asterisco), no sentido dado por BOX & HUNTER (1), apresentado com um número adequado de pontos centrais, visando fornecer boa estimativa do erro experimental e possibilitando, assim, um teste mais preciso de adequação do modelo estudado. Esses delineamentos podem ser de utilidade aos pesquisadores e aos estatísticos naqueles casos, como na pesquisa agrícola e na pequisa com fertilizantes, em que a subdivisão em blocos é muito importante; possibilitam uma determinação precisa da dose econômica dos fertilizantes e servem também para aqueles casos em que se sente que é importante cobrir a área pesquisada com várias doses de cada fator.

The present paper deals with the type of designs known as "Double Central Composite". Basically they are a symmetric type composed of two factorials (or fractional factorials) at levels ±1 and ±W, two stars at levels ±a and ±ga for each factor and central points, presenting five, seven or nine levels for each factor. Due to the higher flexibility of this type of design in comparison with the central composite, properties like orthogonality of the coefficients, orthogonal blocking and rotatability are easily put together in the same design. As these designs can be arranged with a fractionary part of a 2k factorial, they can explore more levels in the range considered with just a few more points than the correspondent central composite design. In agriculture, opposite to technological experiments, and principally in fertilizer research, due to the soil and climatic variability, the experiments should be performed with all treatments allocated at the same time. The responses obtained may be higher and enlarged in the good years and smaller or with a "plateau response" in the bad years. The double central composite design may fit better this situation, because by its structure they cover better a broader range of dosages. If an adequate calibration was originally adopted and the year was a good one, the larger range will fit better the response. If the year was bad, the response is smaller and may present some type of "plateau response" to the higher dosages; the analysis of the complete design may cause a "bias" in the coefficients of the model and in the determination of the economical dosages. In this case the design makes possible to contour the problem by just analysing the central part of the design, as a central composite, using the levels ±1 for the factorial and ± ato the axial, getting an "unbiased" estimate of the coefficients; for the same range of dosages originally utilized, this could not be obtained through an original central composite or with a 3x3x3 factorial. Basically this paper presents three types of design. In Table 1, designs are presented that, besides being orthogonal, are orthogonally blocked in 2, 3 or 5 blocks. The levels were chosen in such a manner as to become the W levels of all designs, smaller than two (levels higher than two are seldom used in practice). The designs of the second group are orthogonal, orthogonally blocked with the external points all of them on the surface of two hyperspheres of rays a= Ök and ga» WÖk, containing two or four central points; these designs may be considered as composed of two central composites, each one having, according with Lucas, quasi optimum D-efficiency. In the third group, presented in Table 3, the designs are orthogonal, orthogonally blocked and with full rotatability or quasi rotatability (the last one presented with an asterisk), in Box and Hunter sense, with enough central points to furnish good estimates of the experimental error, allowing a more precise test for the adequacy of the model. The double central composite design should be of value for the research workers or for the statisticians in those cases in which blocking is very important as in field agriculture experiments and particularly in fertilizer experiments when we are looking for the economical response to NPK. They may be utilized in other areas of research with similar problems, in cases in which we want to evaluate the response for several levels of each factor.

O delineamento duplo central composto com 29 pontos representa uma extensão do delineamento central composto e foi desenvolvido para o estudo de três fatores em mais de três níveis. Essencialmente, consta de dois fatoriais 2³ (níveis 1 e B), de duas estrelas (níveis a e 2alfa) e de um ponto no centro do delineamento. É mostrada a origem do delineamento, o tipo não ortogonal, completamente casualizado, o tipo ortogonal completamente casualizado e o ortogonal divisível em dois blocos. No primeiro deles, seriam estudados três fatores em cinco níveis (-2, -1,-0, + 1 e +2); no segundo, três fatores em nove níveis (-3,02; -2,00; -1,51; -1,00; 0,00; + 1,00; +1,51; +2,00 e +3.02) e, no terceiro, três fatores nos nove níveis seguintes (-7,262; -4,391; -3,631; -1,000; 0,000; +1,000; +3,631; +4,391 e +7,262). É apresentado também um exemplo do último delineamento. com sua análise respectiva. De acordo com o critério de Box & Wilson (2), esse último delineamento é mais eficiente que o fatorial 3 x 3 x 3 divisível em blocos de nove. Os três delineamentos podem ser empregados em programas de adubação visando ao estudo de macronutrientes com vistas à recomendação das doses ótimas de fertilizantes que possibilitem a maximização do lucro obtido e, ainda, em outras áreas da pesquisa científica em que se deseja a avaliação da superfície de resposta, o estudo dos seus pontos extremos, etc.

The double central composite design with 29 points rcpresents an extension of the central composite design and was developed for the study of three factors in more than three levels. Essentially it is composed of two 2³ factorials (levels 1 and B), of two stars (levels alpha and 2alpha) and of one central point. In the present paper the origin of the design, the double central composite completely randomized not orthogonal in 5 levels (-2, -1, 0, +1 and +2), the completely randomized design, orthogonal, in nine levels (-3.02; -2.00; -1.51; -1.00; 0.00; + 1.00; +1.51; +2.00; +3.02) and the orthogonal design divided in two blocks (levels -7.262; -4.391; -3.631; -1.000; 0.000; +1.000; +3.631; +4.391 and +7.262) are shown. One example of the late design is presented with its correspondent analysis. According with Box and Wilson criterion, this last design is more efficient than the 3 x 3 x 3 factorial. They can be used in fertilizer programs aiming the most efficient economical recommendation of dosages and in other areas of scientific research in which we want to evaluate the surface response equations and its extremum properties looking at the maximum response.

Para avaliar as propriedades do delineamento (1/5) (5³), obtido pela superposição de três quadrados latinos ortogonais, foi usada simulação de dados, a partir primeira-mente da equação fundamental seguinte: Yijk = 3500 + 180 x li+ 250 x lj + 120 x lk - 42 x 2i - 55 x2j - - 28 x2k - 25 x lilj - 18 x lilk- 12 x ljlk (A) Os coeficientes da equação fundamental (A) representam o valor médio, os efeitos lineares, quadráticos e as interações linear x linear entre os três fatores npk para uma superfície de resposta expressa em quilogramas de milho por hectare; os valores desses coeficientes foram escolhidos de tal modo que os efeitos principais são significativamente diferentes de zero, os coeficientes quadráticos e as interações fazendo com que o ponto de máximo da função esteja localizado entre os dois níveis mais altos, dentro do intervalo das dosagens utilizadas, Os valores dos componentes linear e de segundo grau para as superfícies adaptadas através de um modelo quadrático e de um modelo com raiz quadrada foram, respectivamente: modelo quadrático: x1=-3+X, x2 =7- 6X+X² modelo com raiz quadrada: x?= a???+(X)½ e x2=a2+ g2 (X)½+X, onde a?=1,67646; a2=2,41157; g2=-3,22798, obtidos com as restrições de ortogonalidade: Sx?= Sx2= Sx?x2,=0, conforme descrito em trabalho anterior (3). Os erros a serem distribuídos pelos tratamentos foram calculados a partir de um histograma da curva normal, com coeficiente de variação de 8,5%; a atribuição desses erros foi feita por sorteio ao acaso, para os 25 tratamentos obtidos a partir da equação (A), simulando-se 60 conjuntos de dados. Foram adaptadas as superfícies de resposta de modelos quadrático e com raiz quadrada a cada um dos 60 experimentos, e também às médias de tratamentos obtidas pelo grupamento de n experimentos, com n igual a 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Os estimadores bP dos parâmetros apresentaram boa convergência para os dois modelos, e os 12coeficientes de determinação tiveram praticamente o mesmo valor. A porcentagem de pontos de máximo, obtida através das equações canônicas, é dada a seguir, para os diferentes grupamentos, nos dois modelos. MODELO GRUPAMENTO 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Quadrático 35 70 70 67 92 90 100 100 100 100 100 100 Raiz quadrada 13 27 35 47 50 50 67 80 75 100 100 100 Também foi feita simulação tendo por base uma equação fundamental (C) de tipo raiz quadrada. Conclusões análogas foram obtidas em relação aos estimadores bP. Em relação à porcentagem de pontos de máximo, para esta nova equação fundamental utilizada, foram obtidos os seguintes resultados: MODELO GRUPAMENTO 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Quadrático 33 70 65 67 92 90 100 100 100 100 100 100 Raiz quadrada 15 27 35 47 50 50 67 80 75 100 100 100 Os valores indicam que, independentemente da equação fundamental utilizada, quando o modelo é de natureza quadrática, o grupamento de 10 experimentos do delineamento (1/5) (5³) é suficiente para obter 100% de pontos de máximo, enquanto são necessários 20 experimentos quando se utiliza o modelo com raiz quadrada. É desenvolvida, para os dados da simulação com (A) e (C), a partir das equações em X, a análise econômica para os dois modelos, com apresentação sucinta dos principais resultados obtidos.

Simulation was used to evaluate the properties of (1/5) (5³) designs, obtained by the superposition of three orthogonal Latin squares. The following basic quadratic equation was used: Yijk = 3500 + 180 x li+ 250 x lj + 120 x lk - 42 x 2i - 55 x2j - - 28 x2k - 25 x lilj - 18 x lilk- 12 x ljlk (A) The values of the linear and second order polynomials for the quadratic model and the correspondent polynomials for the square root model were, respectively: Quadratic: g1=-3+X, g2 =7- 6X+X² Square root: x?= a???+(X)½ e x2=a2+ g2 (X + X,)½ where a?=1.67646; a2=2.41157; g2=-3.22798, obtained with the restrictions for orthogonality: Sx?= Sx2= Sx?Sx2,=0, as described in the "Designs (1/5) (5x5x5)", given by the authors. The coefficients given in (A) represent the mean value, the linear, quadratic, and interactions effects of three factors npk from a surface response expressed in kg of corn per hectare; their values were chosen in such a way that main effects were significantly different from zero, the quadratic coefficients and interactions allowing a maximum point of the function to be allocated between the fourth and fifth levels, so inside the range of the dosages used. This is the situation that should be looked for when choicing the levels of the dosages in planning field fertilizer experiment programmes: we must avoid dosages that give origin to plateau response because they are far apart from the area of economical decision. A histogram of normal shape for the errors, using a coefficient of variation of 8.5%, was built, and the errors were distributed at random for the 25 treatments in the equation (A), creating 60 sets of data. The quadratic and square root polynomials were fitted to each set of 25 treatments and also to the mean of the treatments obtained from groups of n experiments, n equal to 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 or 60. A good convergence of the estimators of the parameters was obtained for the two models. The coefficients of determination were practically of the same value. The percentage of maximum, obtained through the canonical form for both models for the different groups, is: MODEL GROUP MODEL 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Quadratic 35 70 70 67 92 90 100 100 100 100 100 100 Square root 13 27 35 47 50 50 67 80 75 100 100 100 The coefficients of the variance of the treatments on the main diagonal were: MODEL TREATMENT 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Quadratic 33 70 65 67 92 90 100 100 100 100 100 100 Square root 15 27 35 47 50 50 67 80 75 100 100 100 The results indicated that the grouping of 10 experiments of the (1/5) (5x5x5) design was sufficient to obtain 100 percent maximum, when quadratic model was used, whereas 20 experiments are necessary when the square root model was utilized. Another basic equation (C), related to (A) but of square root nature, was used for a similar simulation. The results obtained for bP and the percentage of maximum points were analogous. Independently of the basic equation (A) or (C), with a coefficient of variation of 8.5%, the grouping of 10 experiments was the first one that assured the obtaining of 100 percent maximum, when quadratic response surface was fitted, whereas 20 experiments were necessary when the square root model was used.

São relatados os resultados de um experimento com cafeelros em latossolo vermelho-amarelo (terra de campo cerrado) de baixíssima fertilidade natural e considerado, na ocasião, como impróprio para as atividades agrícolas normais. Foram comparados sete tratamentos de adubação, sendo três à base de estéreo e quatro à base de fertilizantes exclusivamente químicos, além de um controle não adubado. Foram efetuadas observações sobre o efeito dos vários tratamentos sobre o crescimento e o estado nutritional dos cafeelros em relação com a ocorrência de sintomas de carência de vários elementos. A análise das produções obtidas durante o período 1960/69 revelou que o emprego de adubações exclusivamente químicas em presença de calcário e micronutrientes foi superior ao emprego de esterco isoladamente e equivalente a este complemento pela adubação química e calagem. O emprego dos micronutrientes e do calcário teve efeito significativo no aumento da produção. O emprego do calcário foi altamente eficaz na correção da carência de magnésio e no aumento da produção. Os resultados obtidos indicam que é viável a exploração econômica do cafeeiro no latossolo vermelho-amarelo de baixa fertilidade, através do uso exclusivo da adubação química.

This paper presents the results of an experiment of coffee fertilization on a Red Yellow Latosol of extremely low fertility. This soil was formerly considered improper for economical agriculture. Three treatments based on the application of barnyard manure and four treatments employing only mineral fertilizers were used. The effects of the treatments were studied for the period 1960 to 1969. The yields showed that the use of mineral fertilizers plus lime and micronutrients and this same mineral misture plus a dose of barnyard manure gave the best responses. The application of borax and zinc sulphate as soil dressings corrected efficiently the deficiencies of boron and zinc and increased the production when applied together with dolomite. The application of dolomite was highly efficient for correction of magnesium deficiency and increased significantly the yields. The results showed that it is possible to cultivate coffee successfully on a Red Yellow Latosol of extremely low fertility using exclusively mineral fertilizers.

Foi estudado o comportamento de diversos agentes clarificadores na cologem de vinhos brancos procedentes de variedades de uvas diversas, de três regiões vinícolas diferentes dos Estados de São Paulo e de Minas Gerais. Observou-se que tais agentes comportaram-se de maneira diferente de acôrdo com o vinho a ser clarificado. Para os vinhos brancos testados, verificou-se que a bentonita foi o melhor clarificodor. As observações concordam com resultados obtidos por outros pesquisadores para diferentes vinhos.

A laboratory trial was carried out to determine the behavior of different fining agents in samples of white wine obtained from various grape varieties. These tested wines were produced in two regions of the State of São Paulo and one of Minas Gerais. It was observed that these fining agents behaved differently according to the type of wine to be cleared. In our experimental trials bentonita was the best fining agent. These observations agree with those obtoined by others authors in other parts of the world. As a general procedure it is advisable to conduct small-scale fining tests in the laboratory before attempting to clarify the bulk volume of wine in the winery, to determine the efficiency of the fining agent, its effect on the wine, and the quantity necessary to clarify.