Abstract: This article examines the characteristics of pre-service teachers’ knowledge of sub-constructs implied in proportional reasoning. The participants were 91 students at Universidad de Alicante (Spain), who solved twelve problems related to these sub-constructs. A cluster analysis identified four partially nested profiles, in terms of the way the students solved the problems: 1) Those who solve procedural problems and apply multiplicative thinking (Profile One); 2) Those who solve procedural problems and apply additive thinking (Profile Three); 3) Those who differentiate between proportional and nonproportional situations and consolidate the fractional system (Profile Two); and 4) Those who differentiate between proportional and nonproportional situations and show an understanding of the comparison of ratios (Profile Four). The results provide information for designing professional tasks linked to teaching and learning mathematics for teacher training programs in elementary education.

Resumen: Este estudio examina características del conocimiento de estudiantes para maestro (futuros profesores) sobre sub-constructos implicados en el razonamiento proporcional. Los participantes fueron 91 estudiantes de la Universidad de Alicante (España) que resolvieron 12 problemas vinculados a estos sub-constructos. Mediante un análisis de conglomerados se identificaron cuatro perfiles parcialmente anidados considerando cómo los estudiantes resolvían los problemas: 1) resuelven problemas procedimentales y aplican un pensamiento multiplicativo (perfil 1); 2) resuelven problemas procedimentales y aplican un pensamiento aditivo (perfil 3); 3) diferencian situaciones proporcionales y no proporcionales y consolidan el esquema fraccionario (perfil 2), y 4) diferencian situaciones proporcionales y no proporcionales y manifiestan comprensión de la comparación de razones (perfil 4). Estos resultados proporcionan información para el diseño de tareas profesionales vinculadas con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en educación primaria en los programas de formación de maestros.

Abstract This research analyses the relationships between the identification of prototypical figures and geometrical knowledge in solving proof problems as a evidence of configural reasoning. We analyze the answers of 182 preservice teachers on two geometrical proof problems, which include a geometrical configuration and a request for proving a geometrical fact. The results indicate that identifying a prototypical figure in the initial configuration has a heuristic effect that determines the path of problem-solving, activating certain geometrical facts and generating the change from visual anchor to anchor discursive. These results allow us to character the relationship between visualization and geometric knowledge in the configural reasoning dining proof problem solving. Finally, we derive some implications for teacher education.

Resumen Esta investigación estudia la relación entre la identificación de figuras prototípicas y el conocimiento de geometría durante la resolución de problemas de probar como una manifestación del razonamiento configural. Se han analizado las respuestas de 182 estudiantes para maestro a dos problemas de probar que proporcionaban una configuración geométrica y pedían probar un hecho geométrico. Los resultados indican que la identificación de una figura prototípica en la configuración inicial tiene un efecto heurístico que activa determinados conocimientos de geometría, que favorecen el cambio del anclaje visual al anclaje discursivo en la resolución del problema. Estos resultados subrayan la importancia de la relación entre la visualización y el conocimiento geométrico en el desarrollo del razonamiento configural durante la resolución de problemas de probar. Finalmente, desde estos resultados generamos algunas implicaciones para la formación de los maestros.

Abstract: This study examines developing concepts of geometric shapes in 6 to 9 years old children. We use the notions of Duval’s perceptual, operative and discursive apprehensions and Fischbein’s figural concept to analyse the students’ understanding of shapes and how they completed sorting tasks. We interviewed 30 children ages 6 to 9 and analysed how they recognized and associated figure attributes so as to classify them. Findings indicate that (a) There is a mismatch between the term used to name prototypical figures and the way in which they are understood; (b) That the recognition of attributes to classify figures is not a uniform process and depends on which attribute is considered (c) The prototypical figures condition the understanding of the notion of geometrical figure class. These findings give us new knowledge about how elementary school students establish relations between perceptual and conceptual approaches in understanding the progression of the geometrical shapes.

Resumen: El objetivo de esta investigación es identificar características de la comprensión de las figuras geométricas en estudiantes de 6 a 9 años. Usamos las nociones de aprehensión perceptual, operativa y discursiva de Duval, así como la idea de concepto figural de Fischbein, para analizar la transición entre lo perceptual y lo conceptual en el desarrollo de la comprensión de las figuras. Entrevistamos a 30 niños (de 6 a 9 años de edad) y analizamos cómo reconocen y relacionan diferentes atributos en las figuras geométricas para clasificarlas. Los resultados indican tres características relevantes: (a) La existencia de un desfase entre el uso de los nombres de las figuras prototípicas y su comprensión conceptual; (b) Que el reconocimiento de los atributos para clasificar las figuras no es un proceso uniforme y depende del atributo considerado; y (c) La influencia que desempeñan las figuras prototípicas —y el dominio semántico restringido del término usado para nombrarla— en el proceso de reconocer y clasificar las figuras. Estos resultados proporcionan información sobre cómo los estudiantes establecen relaciones entre lo perceptual y lo conceptual que es relevante para caracterizar la progresión de la comprensión de las figuras geométricas.

Este artigo se insere na linha de reflexão em educação matemática centrada em caracterizar e desenvolver a competência docente "olhar profissionalmente" no ensino-aprendizagem das matemáticas como um componente da prática profissional do professor de matemática. Este exemplo procedente de um curso de formação inicial de professores permite caracterizar seu significado. No artigo argumenta-se que o desenvolvimento dessa competência docente apoia-se na relação dialética entre o conhecimento da matemática para o ensino (MKT) e o discurso gerado na resolução de tarefas profissionais. Finalmente descrevem-se algumas características dos ambientes de aprendizagem nos programas de formação de professores dirigidos a fomentar o desenvolvimento dessa relação dialética.

This report provides some reflections on the "professional noticing" skill as a component of professional practice of the mathematics teacher. We provide an example from a pre-service mathematics teachers program in order to characterize the aforementioned skill. We claim that the development of professional noticing is supported by the dialectic relation between mathematics knowledge for teaching (MKT) and the discourse generated in the resolution of professional tasks. Finally, some aspects of the learning environments in teacher education programs are described in order to support the relation between MKT and the resolution of professional tasks.

Este artículo se inserta en la línea de reflexión en educación matemática centrada en caracterizar y desarrollar la competencia docente "mirar profesionalmente" la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas como una componente de la práctica profesional del profesor de matemáticas. Un ejemplo procedente de un curso de formación inicial de profesores nos permite caracterizar su significado. En este trabajo se argumenta que el desarrollo de esta competencia docente se apoya en la relación dialéctica entre el conocimiento de matemáticas para la enseñanza (MKT) y el discurso generado en la resolución de tareas profesionales. Finalmente se describen algunas características de los entornos de aprendizaje en los programas de formación de profesores dirigidos a fomentar el desarrollo de esta relación dialéctica.

The aim of this study is to identify some indicators of post-secondary students' development of derivative schema. In order to identify these indicators we use intra, inter and trans levels of development of a schema provided by Piaget and García. We argue that students' flexible use of the logical equivalence between mathematical elements when solving a problem is an indicator of the development of the derivative schema. This characterization helps to explain the transition between the levels inter and trans of the development of derivative schema.

El objetivo de esta investigación es caracterizar algunos indicadores del desarrollo del esquema de derivada en estudiantes de pos-secundaria. Usamos los niveles intra, inter y trans del desarrollo de un esquema propuestos por Piaget y García para caracterizar el uso flexible que los estudiantes hacen de la equivalencia lógica entre diferentes elementos matemáticos cuando resuelven un problema, como un indicador del desarrollo del esquema de derivada. Este indicador ayuda a explicar la transición entre los niveles inter y trans de desarrollo del esquema derivada.

Este estudo suporte às características de estágios participativa e antecipatória em abstração matemática en alunos do ensino secundário. Foram realizadas 71 entrevistas clínicas baseadas en tarefas com alunos do ensino secundário para obter evidênciaa construçao de diferentes concepções matemática (stagio Participativo) e como elesforam usados (stagio Anticipatoria). Podemos distinguir dois momentos na etapa participativa baseada na coordenação de informações de casos específicos através da reflexao sobre atividade e efeito que, em alguns casos, levar a uma mudança de foco que permite os alunos do ensino secundário obter uma reorganização de seus conhecimentos. Nós argumentamos que(a) a capacidade de perceber regularidades em conjuntos de casos particulares é uma característica de reflexao aobre atividade e efeito na abstração de conceitos matemáticos no ensino secundário, e (b) a coordenação da informação por parte dos alunos cria oportunidades para mudar a atenção foco a partir dos resultados particular para a estrutura das propriedades.

This study provides support to the characteristics of participatory and anticipatory stages in secondary school pupils' abstraction of mathematical conceptions. We carried out clinical task-based interviews with 71 secondary-school pupils to obtain evidence of the different constructed mathematical conceptions (Participatory Stage) and how they were used (Anticipatory Stage). We distinguish two moments in the Participatory Stage based on the coordination of information from particular cases by activity-effect reflection which, in some cases, lead to a change of focus enabling secondary-school pupils to achieve a reorganization of their knowledge. We argue that (a) the capacity of perceiving regularities in sets of particular cases is a characteristic of activity-effect reflection in the abstraction of mathematical conceptions in secondary school, and (b) the coordination of information by pupils provides opportunities for changing the attention-focus from the particular results to the structure of properties.

L'analyse des relations implicatives entre les stratégies employées par 136 élèves en deuxième année de collège pour résoudre des problèmes linéaires et non-linéaires constitue le sujet de cette étude. Celle-ci commence, dans un premier temps, par une description desdites stratégies utilisées par les élèves. Puis, à l'aide du logiciel CHIC, elle se poursuit par une identification des relations implicatives qui existent entre ces stratégies. Les résultats obtenus démontrent l'importance de la compréhension de l'idée de raison lorsque l'on désire identifier des situations linéaires. Cette étude fournit également des informations sur les possibles précurseurs du développement du raisonnement proportionnel.

Este estudo analisa as relações envolvidas entre as estratégias usadas por 136 estudantes do primeiro ano do ensino médio na resolução de problemas lineares e não lineares. Em primeiro lugar, são descritas as estratégias utilizadas pelos estudantes, e depois, empregando o software CHIC, são identificadas as relações envolvidas entre elas. Os resultados mostram a importância da compreensão da ideia da razão para identificar as situações lineares, e é feita uma contribuição de informação sobre os possíveis precursores do desenvolvimento da lógica proporcional.

This study analyzes the implicative relations between strategies used by 136 first year high school students in solving linear and non-linear problems. First of all, it describes the strategies used by students and then, using the CHIC software, it identifies implicative relations between them. The results demonstrate the importance of understanding the idea of reason in order to identify linear situations and information is provided in relation to possible precursors to the development of proportional reasoning.

Este estudio analiza las relaciones implicativas entre las estrategias usadas por 136 estudiantes de primer curso de educación secundaria en la resolución de problemas lineales y no lineales. En primer lugar, se describen las estrategias ocupadas por los alumnos y después, empleando el software CHIC, se identifican sus relaciones implicativas. Los resultados muestran que es importante que los estudiantes comprendan la idea de razón para que sean capaces de identificar las situaciones lineales; de igual manera, aportan información sobre los posibles precursores del desarrollo del razonamiento proporcional en los estudiantes de educación secundaria.

L'objectif de ce travail de recherche consiste à interpréter la compréhension du schéma de l'intégrale définie chez les étudiants en ingénierie sciences de la nature en utilisant un espace métrique flou afin de déterminer le degré de développement aux niveaux intra, inter et trans (Piaget et García, 1984). Les résultats montrent que les étudiants ont du mal à faire la relation entre la succession des sommes de Riemann avec leur dépendance au paramètre n en tant que relation entre la succession des sommes de Riemann et le passage à la limite qui donne forme à la signification de l'intégrale définie.

Esta pesquisa tem como objetivo caracterizar o desenvolvimento do esquema da integral definida em estudantes de engenharia de ciências da terra, usando uma métrica fuzzy para determinar o grau de desenvolvimento nos níveis intra, inter e trans (Piaget e García, 1984). Os resultados mostram a dificuldade dos estudantes para relacionar a sucessão de somas de Riemann com sua dependência do valor n da partição, como uma manifestação da relação entre a sucessão de somas de Riemann e a passagem ao limite que configura o significado da integral definida.

The purpose of this research is to characterize the development of the scheme for the integral as defined by earth science engineering students using fuzzy metrics in order to establish the level of development on intra, inter and trans levels (Piaget & García, 1984). The results demonstrate the difficulty of students to link the succession of Riemann sums with their dependence on the n value of the partition, as a manifestation of the relationship between the succession of Riemann sums and the step to the limit which forms the meaning of the defined integral.

Esta investigación tiene como objetivo caracterizar el desarrollo del esquema de la integral definida en estudiantes de ingeniería de ciencias de la tierra usando una métrica fuzzy para determinar el grado de desarrollo en los niveles intra, inter y trans (Piaget y García, 1984). Los resultados muestran la dificultad de los estudiantes para relacionar la sucesión de sumas de Riemann con su dependencia del valor n de la partición, como una manifestación de la relación entre la sucesión de sumas de Riemann y el paso al límite que configura el significado de la integral definida.

Les étudiants du lycée (16 à 18 ans) et ceux qui suivent les enseignements de calcul (analyse) dans l'université ont des difficultés pour comprendre la notion de dérivée. Dans ce contexte, notre travail analyse et organise les apports de recherches faites dans les Mathématiques Éducatives pour identifier la connaissance générée et les domaines dont il est nécessaire de donner plus d'information. L'analyse a été structurée en considérant : a) ce qui est connu sur la compréhension de la dérivée d'une fonction en un point; b) le rôle que jouent les systèmes de représentation; c) les caractéristiques du développement du schéma de dérivée. Finalement, des axes de recherche nécessaires sont identifiés pour augmenter notre compréhension de comment les étudiants donnent de la signification et utilisent le concept de dérivée.

Os estudantes de Ensino Médio (16 a 18 anos) e os que cursam os primeiros anos de cálculo na universidade têm dificuldades para compreender a noção de derivada. Em tal contexto, este trabalho revisa e organiza as contribuições das investigações feitas em Educação Matemática para identificar o conhecimento gerado e as áreas onde são necessárias contribuir com informação. A revisão se estruturou considerando: a) o que se conhece sobre a compreensão da derivada de uma função em um ponto; b) o papel que desempenham os sistemas de representação; c) as características do desenvolvimento do esquema de derivada. Por último, identificam-se linhas de investigação necessárias para aumentar nossa compreensão de como os estudantes dotam de significado e usam o conceito de derivada.

High school students (16 to 18 years of age) and first year students of calculus in university have difficulty understanding the notion of the derivative. In this context, this study reviews and organizes the contributions of studies made in Mathematics Education to identify the knowledge generated and the areas where it is necessary to provide information. The review has been structured to consider: a) what is known about the understanding of the derivative of a function at a point; b) the role of representation systems; c) the characteristics of the development of the derivative schema. Lastly, the necessary lines of investigation were identified to enhance our understanding of how students give meaning and use to the concept of the derivative.

La comprensión de la noción de derivada presenta dificultades para los estudiantes de Bachillerato (16-18 años) y primeros años de Cálculo en la Universidad. En dicho contexto, este trabajo revisa y organiza las aportaciones de las investigaciones hechas en Matemática Educativa para identificar el conocimiento generado y las áreas donde es necesario contribuir con información. La revisión se ha estructurado considerando: a) lo que se conoce sobre la comprensión de la derivada de una función en un punto; b) el papel que desempeñan los sistemas de representación; c) las características del desarrollo del esquema de derivada. Por último, se identifican líneas de investigación necesarias para aumentar nuestra comprensión de cómo los estudiantes dotan de significado y usan el concepto de derivada.