Abstract Mathematical concepts are not real objects and different representations must be used to promote learning. The use of GeoGebra to develop mathematical knowledge is recognized in numerous investigations, which raise the need to design situations that allow exploration, formulation of conjectures, argumentation and evaluation of them. The research was qualitative because it was interested in knowing the development of knowledge of 25 students, from a group of the second semester of the evening shift of a General Baccalaureate by Competencies, around the resolution of verbal statement problems, and their algebraic and graphic representation. that gave rise to systems of 2x2 linear equations. The research literature is composed by Duval's theory of Semiotic Representation Registers. The analysis of the results shows that the context used, the use of different representations and the dynamic nature of the software were important for students to give meaning to concepts such as linear equation, unknown, variable, function, SEL and, therefore, solve the systems of 2x2 linear equations that underlay the problems.

Resumen Los conceptos matemáticos no son objetos reales y se debe recurrir a distintas representaciones para propiciar el aprendizaje. El uso de GeoGebra para desarrollar conocimiento matemático es reconocido en numerosas investigaciones, las cuales plantean la necesidad del diseño de situaciones que permitan la exploración, formulación de conjeturas, argumentación y evaluación de las mismas. La investigación fue de tipo cualitativa pues interesaba conocer el desarrollo de conocimiento de 25 estudiantes, de un grupo de segundo semestre del turno vespertino de un Bachillerato General por Competencias, alrededor de la resolución de problemas de enunciado verbal y, su representación algebraica y gráfica, que dieran lugar a sistemas de ecuaciones lineales 2x2. La literatura investigada se compone por la teoría de los Registros de representación semiótica de Duval. El análisis de los resultados muestra que fue importante el contexto utilizado, el uso de distintas representaciones y el carácter dinámico del software, para que los estudiantes dieran significado a conceptos como ecuación lineal, incógnita, variable, función, SEL y, por lo tanto, resolvieran los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 que subyacían en los problemas.

Resumo Os conceitos matemáticos não são objetos reais e diferentes representações devem ser utilizadas para promover a aprendizagem. A utilização do GeoGebra para desenvolver o conhecimento matemático é reconhecida em inúmeras investigações, que levantam a necessidade de desenhar situações que permitam a exploração, formulação de conjecturas, argumentação e avaliação das mesmas. A pesquisa foi qualitativa porque se interessou em conhecer o desenvolvimento do conhecimento de 25 alunos, de uma turma do segundo semestre do turno noturno de um Bacharelado Geral por Competências, em torno da resolução de problemas de enunciados verbais e sua representação algébrica e gráfica. que deu origem a sistemas de equações lineares 2x2. A literatura de pesquisa investigada é composta pela teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval. A análise dos resultados mostra que o contexto utilizado, o uso de diferentes representações e a natureza dinâmica do software foram importantes para que os alunos dessem sentido a conceitos como equação linear, incógnita, variável, função, SEL e, portanto, resolvessem o problema. sistemas de equações lineares 2x2 que fundamentam os problemas.

Abstract Given the need to conduct research that informs key elements for enhancing professional development programs in mathematics teaching through modeling, a qualitative and longitudinal investigation was undertaken, grounded in a case study. The study is focused on analyzing the evolution of a mathematics teacher’s conceptual system while immersed in a teacher development program within the theoretical reference of the models and modeling perspective. For this study, a multitiered teacher development program was designed, fostering interactions among students, teachers, and researchers. The program was centered on promoting the evolution of the teacher’s conceptual system through the design, implementation, and evaluation of a model development sequence aimed at supporting the learning of exponential function among first-semester university students. The teacher’s generated conceptual systems were characterized along three dimensions: instructional, mathematical content, and historical. The multidimensional analysis revealed that active involvement in designing and implementing a model development sequence engaged the teacher in iterative refinement processes between sequence design and the dimensions of their conceptual framework. Furthermore, the study concludes that the multitiered approach can serve as a means to promote the evolution of a teacher’s conceptual system. undertaken teachers s perspective designed students researchers implementation firstsemester first semester instructional content historical framework Furthermore

Resumen Ante la necesidad de desarrollar investigaciones que informen sobre elementos clave para mejorar los programas de actualización en la enseñanza de las matemáticas a través de la modelación, se llevó a cabo una investigación cualitativa, longitudinal, basada en un estudio de caso. El trabajo se enfoca en el análisis de la evolución del sistema conceptual de un profesor de matemáticas, al estar inmerso en un programa de actualización docente enmarcada en la perspectiva de modelos y modelación. Para este estudio se diseñó un programa de actualización docente multiestratos, el cual involucró interacciones entre estudiantes, profesor e investigadores. El programa se enfocó en promover la evolución del sistema conceptual del profesor al diseñar, implementar y evaluar una secuencia de desarrollo de modelos orientada a apoyar el aprendizaje de la función exponencial en estudiantes universitarios de primer semestre. Los sistemas conceptuales generados por el profesor se caracterizaron con base en tres dimensiones: instruccional, de contenido matemático e histórica. El análisis multidimensional permitió identificar que al participar en el diseño e implementación de una secuencia de desarrollo de modelos el profesor se involucró en procesos de refinamiento iterativo entre el diseño de la secuencia, y las dimensiones de su sistema conceptual. Además, se concluyó que el enfoque multiestratos puede ser un medio para promover la evolución del sistema conceptual de un profesor. modelación cualitativa longitudinal caso investigadores diseñar semestre instruccional histórica Además

Abstract: The objective of this article is to present an analysis of the modeling cycles that students of the first quarter of an Accounting and Business Administration career built by carrying out a model eliciting activity [MEA]; derived from this analysis, a guide is proposed that allows evaluating models built by students when solving MEAs where the concept of function underlies. This study was based on the Models and Modeling Perspective and the Covariational Reasoning Framework. The methodology was qualitative, ten students with ages between 23 and 32 participated. The results show that the students exhibited ideas of linearity in their first models, which evolved to become exponential models; at the same time, the students’ covariational reasoning was modified, extended, and refined across different levels.

Resumen: El objetivo de este artículo es presentar un análisis de los ciclos de modelación que estudiantes del primer cuatrimestre de la licenciatura en contabilidad y licenciatura en administración de empresas y negocios construyeron, al realizar una actividad provocadora de modelos [MEA]; derivado de este análisis se propone una guía que permita evaluar modelos construidos por estudiantes al resolver MEAs, donde subyace el concepto de función. Este estudio se fundamentó en la Perspectiva de Modelos y Modelación y el Marco Conceptual de Razonamiento Covariacional. La metodología fue cualitativa, participaron diez alumnos con edades entre 23 y 32 años. Los resultados muestran que los estudiantes exhibieron ideas de linealidad en sus primeros modelos, los cuales evolucionaron para convertirse en modelos exponenciales; al mismo tiempo, el razonamiento covariacional de los estudiantes se modificó, amplió y refinó a través de distintos niveles.

Resumo O objetivo deste artigo é descrever e analisar ciclos progressivos de entendimento que um grupo de alunos universitários exibiram ao realizar uma Atividade Provocadora de Modelos [APM], durante a disciplina Desenho de Experimentos [DE]. O marco teórico foi a Perspectiva de Modelos e Modelação. Houve o interesse de conhecer quais conceitos e procedimentos conformavam cada um dos modelos que os estudantes construíram, com relação ao desenho de experimentos e provas de hipóteses, ao realizar uma APM, no início do curso? Durante a primeira implementação da APM emergiram ideias iniciais de conceitos como: experimento, fator estudado, processo, coleta de dados, variáveis dependentes e independentes, níveis, réplica, tratamentos etc. A segunda pergunta de investigação foi: como se desenvolvem os ciclos progressivos de entendimento referentes aos conceitos de desenhos de experimentos e provas de hipóteses? Para responder isto, foi realizada uma análise qualitativa com enfoque fenomenológico; os resultados mostraram como os sistemas conceituais foram se modificando, ampliando e refinando, a partir de três ciclos iterativos e interativos de entendimento: o ciclo qualitativo, no qual os estudantes usaram variáveis de caráter qualitativo e se expressaram mediante linguagem falada, metáforas e desenhos; o ciclo quantitativo, no qual as variáveis foram descritas mediante informação numérica e expressadas por meio da linguagem falada que fazia referência a operações matemáticas; o ciclo de refinamento, no qual os alunos exibiram os ciclos qualitativos e quantitativos, mas se expressaram usando números, tabelas, gráficos, equações e linguagem falada.

Resumen El objetivo de este artículo es describir y analizar los ciclos progresivos de entendimiento que un grupo de alumnos universitarios exhibió al realizar una Actividad Provocadora de Modelos [APM], durante una asignatura de Diseño de Experimentos [DE]. El marco teórico fue la Perspectiva de Modelos y Modelación. Interesaba conocer ¿cuáles conceptos y procedimientos conformaban cada uno de los modelos que construyeron los estudiantes, respecto al diseño de experimentos y pruebas de hipótesis, al realizar la APM, al comenzar el curso DE? Durante la primera implementación de la APM emergieron ideas iniciales de conceptos como: experimento, factor estudiado, proceso, recolección de datos, variables dependientes e independientes, niveles, réplica, tratamientos etc. La segunda pregunta de investigación fue: ¿cómo se desarrollaron los ciclos progresivos de entendimiento respecto a los conceptos de diseños de experimentos y pruebas de hipótesis? Para responder esto, se realizó un análisis cualitativo con enfoque fenomenológico; los resultados muestran cómo los sistemas conceptuales se fueron modificando, ampliando y refinando, a partir de tres ciclos iterativos e interactivos de entendimiento: el ciclo cualitativo en el que los estudiantes usan variables de carácter cualitativo y se expresan mediante lenguaje hablado, metáforas y dibujos; el ciclo cuantitativo en el que las variables son descritas mediante información numérica y son expresadas por medio del lenguaje hablado que hace referencia a operaciones matemáticas; y el ciclo de refinamiento, en el que los alumnos exhibieron los ciclos cualitativos y cuantitativos, pero se expresaron utilizando tablas, números, gráficas, ecuaciones y lenguaje hablado.

Abstract: This article presents some research findings in college students when they solve situations close to real life. Its objective was to identify and develop the mathematical knowledge and abilities centered in the notion of proportionality and other related concepts (rational number, proportion and linear function). The participating population was a first semester students group from bachelor of medicine. Models and Modeling perspective and Multiplicative Conceptual Fields Theory constitute the theoretical framework used for designing, structuring and evaluating the activity, as well as, it helps to evaluate the students learning. The methodology was qualitative. The results show that qualitative and quantitative understanding cycles emerged and the use of ratios and scalar operators distinguish them. There was no use of functional operator, so the algebraic understanding didn’t emerge.

Resumen: En este artículo se presentan hallazgos de una investigación cuyo objetivo fue identificar y desarrollar el conocimiento y habilidades matemáticas asociadas con la proporcionalidad y conceptos como número racional, proporción y función lineal, que exhiben estudiantes universitarios al resolver problemas relacionados con situaciones cercanas a la vida real. La población participante fue un grupo de estudiantes de primer semestre de Licenciatura en Medicina. La perspectiva de Modelos y Modelación y la Teoría de los Campos Conceptuales Multiplicativos constituyeron el marco teórico que permitió diseñar, estructurar y evaluar la actividad provocadora de modelos utilizada, así como documentar el aprendizaje de los estudiantes. La metodología fue cualitativa. Los resultados indican que los ciclos de entendimiento cualitativos y cuantitativos que emergieron estuvieron caracterizados por el uso de razones u operadores escalares. No fueron utilizados operadores funcionales y, por lo tanto, no emergieron ciclos de entendimiento algebraico, aun cuando se exhibió reconocimiento de patrones.

Abstract: We reflect on the mathematical competences that high school students exhibited when they carried out a Model Eliciting Activity. The research question that guides the discussion is what competencies do students exhibit in solving activities close to the real life? The Models and Modeling perspective and the Kilpatrick concept of competencies are part of our theoretical framework. Through the data analysis, we identified the competences of conceptual understanding, fluency, strategical competence, adaptive reasoning and productive disposition.

Resumen: Reflexión sobre las competencias matemáticas mostradas por estudiantes de bachillerato cuando realizaron una Actividad Provocadora de Modelos. La pregunta de investigación que guía la discusión es ¿qué competencias exhiben los estudiantes en la realización de actividades cercanas a la vida real? La perspectiva de Modelos y Modelación y el concepto de competencias de Kilpatrick integran el marco teórico. Mediante el análisis de datos se identificaron las competencias de comprensión conceptual, fluidez procedimental, competencia estratégica, razonamiento adaptativo y disposición productiva.

Abstract: In this paper we analyze the relationship between the conceptual tools (representations) used by students enrolled in a college tourism program, to model a situation about cost of sending packages, and the cycles of understanding that the students develop about the concepts of step function, function, and variation. Based on the perspective of Models and Modeling, the questions that guide the discussion are: What kind of representations did first semester students use to describe and analyze problematic situations where the underlying model is a step function? To what extent did the representations support the development of different cycles of understanding of the concepts of function and variation? The results show multiple representations that students construct, analyze, modify, and refine. The representations helped to acquire meaning of mathematical concepts as function and variation.

Resumen: Con base en la perspectiva de modelos y modelación, en este artículo se analiza la relación entre las herramientas conceptuales utilizadas para modelar una situación sobre costo de envíos de paquetería y los ciclos de entendimiento que los estudiantes van desarrollando sobre los conceptos de función y variación. Las preguntas que guían la discusión son ¿Qué registros de representación utilizan estudiantes del primer semestre de una licenciatura en Turismo para describir y analizar situaciones problemáticas cuyo modelo subyacente es una función escalonada? ¿Cómo apoyan las diferentes representaciones el desarrollo de ciclos progresivos de entendimiento de los conceptos de función y variación en los estudiantes? Los resultados muestran que la utilización de diversas representaciones, el análisis de éstas, su modificación y refinamiento, son indicadores de la construcción de niveles progresivos de entendimiento de los conceptos de función y variación.