Resumo Revisamos o modelo geocêntrico de Ptolomeu e mostramos paso a paso como determinar a longitude de um planeta usando uma abordagem matemática moderna para facilitar sua compreensão. Também discutimos as considerações de Ptolomeu para fixar o valor da latitude dos planetas. Uma equivalência geométrica entre os modelos de Ptolomeu e Copérnico é apresentada, destacando as restrições com as quais esta equivalência foi construída. Ademais, é discutido os aspectos associados à transição entre o modelo geocêntrico de Ptolomeu e o modelo heliocêntrico de Copérnico. Consideramos aspectos sobre o uso de epiciclos sobre epiciclos, assim como, a questão da precisão do modelo de Ptolomeu em relação ao modelo de Copérnico. Em geral, neste trabalho apresentamos uma visão quantitativa e qualitativa do modelo de Ptolomeu de forma que o leitor tenha a disposição uma formulação matemática simples para determinar a posição dos planetas. Adicionalmente, entender como a proposta de Copérnico, mesmo sendo equivalente do ponto de vista geométrico ao modelo de Ptolomeu, se revelou um modelo fisicamente mais completo e de uma estética (movimento da Terra em torno do Sol) diferente capaz de unificar conceitos.

Abstract We reviewed Ptolemy's geocentric model and showed step by step how to determine the longitude of a planet using a modern mathematical approach to facilitate its understanding. We also discussed Ptolemy's considerations for fixing the planets' latitude value. A geometric equivalence between the Ptolemy and Copernicus models are presented, highlighting the restrictions with which this equivalence was built. Furthermore, the aspects associated with the transition between Ptolemy's geocentric model and Copernicus's heliocentric model are discussed. We considered aspects about the use of epicycles over epicycles, as well as the question of the precision of the Ptolemy model in relation to the Copernicus model. In general, in this work we present a quantitative and qualitative view of Ptolemy's model so that the reader has a simple mathematical formulation available to determine the position of the planets. Additionally, to understand how Copernicus' proposal, even though it is geometrically equivalent to Ptolemy's model, turned out to be a physically more complete model and of a different aesthetic (movement of the Earth around the Sun) capable of unifying concepts.

Resumo O modelo cosmológico de Eudoxo de Cnido (408 - 355 a.C.), o modelo das esferas concêntricas, representa o primeiro modelo matemático da cosmologia, o qual tenta explicar o movimento dos corpos celestes. Através dos comentários de Aristóteles (384 - 322 a.C.), dos escritos de Simplício (490 - 560 d.C.) e das abordagens feitas por historiadores e matemáticos do século XIX, será apresentada a reconstrução matemática clássica deste modelo. Também utilizamos um método matemático moderno, o método das matrizes de rotação, para ilustrar os movimentos planetários que resultam do modelo de Eudoxo, e determinar a equação paramétrica da hipópede. Devido à inexistência dos registros históricos originais do modelo, é necessário abordar as principais críticas a esta reconstrução clássica do século XIX, entre elas, a unicidade da reconstrução do modelo. No entanto, mesmo com todas as incertezas na reconstrução, ao longo dos séculos, o modelo de Eudoxo se apresenta como a primeira tentativa de entender, com as observações e as ferramentas da matemática da época, os movimentos do Sol, da Lua e os movimentos retrógrados dos planetas, e este trabalho dedica-se a discutir estas características de forma ampla, esgotando as principais obras apresentadas na literatura.

Abstract The cosmological model of Eudoxus of Cnidus (408 - 355 BC), the concentric spheres model, represents the first mathematical model of cosmology, which attempts to explain the motion of celestial bodies. Through the comments of Aristotle (384-322 BC), the writings of Simplicius (490-560 AD) and the approaches made by 19th century historians and mathematicians, the classical mathematical reconstruction of this model will be presented. We also use a modern mathematical method, the rotation matrix method, to illustrate the planetary motions that result from the Eudoxus model, and to determine the parametric equation of the hippopede. Due to the inexistence of the original historical records of the model, it is necessary to consider the main criticisms of this classic reconstruction of the nineteenth century, among them, the uniqueness of the reconstruction of the model. However, even with all the uncertainties in the reconstruction, over the centuries, the Eudoxus model presents itself as the first attempt to understand, with the observations and tools of mathematics of the time, the movements of the Sun, the Moon and the movements retrograde of the planets, and this work is dedicated to discuss these characteristics broadly, exhausting the main works presented in the literature.