Apresentamos o método espectral de Galerkin como uma ferramenta para a quantização de sistemas hamiltonianos. Este método pode ser introduzido como um tópico em uma disciplina de introdução à mecânica quântica em um curso de graduação em física. Comparado ao método de diferenças finitas, o método espectral possibilita precisão muito maior, além de fornecer expressões analíticas aproximadas para as autofunções de energia, e é suficientemente simples para ser exposto em cerca de quatro horas-aula. No presente trabalho, apresentamos o método em detalhe, aplicando-o à equação de Schrödinger para o oscilador harmônico simples e para o oscilador harmônico quártico. A precisão dos resultados é comparada aos fornecidos pelo método de diferenças finitas.

We present the Galerkin spectral method as a tool for the quantization of hamiltonian systems. This method can be introduced as a topic in an undergraduate introductory Physics course on Quantum Mechanics. Compared to the finite differences method, the spectral method allows greater precision, in addition to providing analytical expressions for the energy eigenfunctions, as well as being sufficiently simple to be exposed in about four hours. In the present work, we present the method in detail, applying it to the Schrödinger equation for the simple harmonic oscillator and for the quartic oscillator. The precision of results is compared to those yielded by the method of finite differences.

Propomos a introdução do método de diferenças finitas como tópico a ser abordado na disciplina de mecânica quântica de um curso de graduação em física. O método é suficientemente simples para ser introduzido e exemplificado em seis horas de aula, permitindo a obten cão de resultados tanto qualitativamente corretos como de alta precisão quantitativa. Devido a sua grande aplicabilidade, seu entendimento por parte dos alunos de graduação em física, futuros pesquisadores, é essencial para a formação acadêmica destes. No presente trabalho, apresentamos o método em detalhes. Sua precisão é verificada calculando o espectro de energia para o oscilador harmônico e comparando-os com os resultados analí ticos conhecidos. Em seguida aplicamos o método a dois outros sistemas, o oscilador anarmônico quártico e o potencial linear. Para cada um destes sistemas, calculamos os dez ní veis de energia mais baixos, bem como seus respectivos auto-estados.

We propose the introduction of the finite differences method as one topic to be inserted in the discipline of quantum mechanics in a physics undergraduate course. The method is simple enough to be introduced and exemplified in about six hours of class allowing both qualitatively correct and high-precision quantitative results. Due to the great applicability of the method, it is essential that the undergraduate students, future researchers, learn it. In the present work, we show the method in detail and verify its precision initially by calculating the energy spectrum of the harmonic oscillator and comparing it to its well-known analytical results. Then we apply it to two other systems, the anharmonic oscillator and the one with linear potential. For each of those systems We compute, for both systems, the ten lowest energy eigenvalues are calculated, as well as their corresponding eigenfunctions.

Este trabalho mostra a construção de um optodo baseado no indicador ácido - base azul de timol (TB) e sua aplicação como detector de um sistema para análise por injeção em fluxo (FIA) para determinação de CO2. O indicador foi quimicamente imobilizado na superfície de um feixe bifurcado de fibras ópticas de vidro, usando silanização em meio orgânico. No sistema FIA, amostras de carbonato ou bicarbonato são injetadas em uma solução tampão carregadora, e a seguir são misturadas com solução de ácido fosfórico para gerar CO2, o qual se difunde através de uma membrana de PTFE, para ser coletado em um fluido carregador aceptor, o qual é bombeado em direção à cela de detecção, na qual encontra-se o optodo. O sistema proposto apresenta duas faixas lineares de resposta, entre 1,0 x 10-3 e 1,0 x 10-2 mol l-1, e entre 2,0 x 10-2 e 0,10 mol l-1. A freqüência de amostragem foi de 11 amostras h-1, com boa repetibilidade (R.S.D < 4 %, n = 10). Sob condições em fluxo o tempo de vida do optodo foi de 170 h. O sistema proposto foi aplicado na análise de águas minerais comerciais, e os resultados obtidos na determinação de bicarbonato foram similares daqueles obtidos pelo método potenciométrico, a um nível de confiança de 95%.

An optode based on thymol blue (TB), an acid-based indicator, has been constructed and evaluated as a detector in FIA system for CO2 determination. The dye was chemically immobilised on the surface of a bifurcated glass optical fibre bundle, using silanisation in organic media. In FIA system, hydrogen carbonate or carbonate samples are injected in a buffer carrier solution, and then are mixed with phosphoric acid solution to generate CO2, which diffuses through a PTFE membrane, in order to be collected in an acceptor carrier fluid, pumped towards to detection cell, in which the optode was adapted. The proposed system presents two linear response ranges, from 1.0 x 10-3 to 1.0 x 10-2 mol l-1, and from 2.0 x 10-2 to 0.10 mol l-1. The sampling frequency was 11 sample h-1, with good repeatability (R.S.D < 4 %, n = 10). In flow conditions the optode lifetime was 170 h. The system was applied in the analysis of commercial mineral water and the results obtained in the hydrogen carbonate determination did not differ significantly from those obtained by potentiometry, at a confidence level of 95 %.

The Wyman's solution depends on two parameters, the mass M and the scalar charge σ. If one fixes M to a positive value, say M0, and let σ2 take values along the real line it describes three different types of spacetimes. For σ2 > 0 the spacetimes are naked singularities, for σ2 = 0 one has the Schwarzschild black hole of mass M0 and finally for -M0² < σ2 < 0 one has wormhole spacetimes. In the present work, we shall study qualitative and quantitative features of orbits of massive particles and photons moving in the naked singularity and wormhole spacetimes of the Wyman solution. These orbits are the timelike geodesics for massive particles and null geodesics for photons. Combining the four geodesic equations with an additional equation derived from the line element, we obtain an effective potential for the massive particles and a different effective potential for the photons. We investigate all possible types of orbits, for massive particles and photons, by studying the appropriate effective potential. We notice that for certain naked singularities, there is an infinity potential wall that prevents both massive particles and photons ever to reach the naked singularity. We notice, also, that for certain wormholes, the potential is finite everywhere, which allows massive particles and photons moving from one wormhole asymptotically flat region to the other. We also compute the radial timelike and null geodesics for massive particles and photons, respectively, moving in the naked singularities and wormholes spacetimes.

Neste segundo artigo sobre sistemas hamiltonianos, apresentamos o método da explosão (blow-up) para a determinação da natureza de pontos fixos (pontos de equilíbrio) degenerados. Aplicamos o método a dois modelos hamiltonianos com um e dois graus de liberdade, respectivamente. Primeiramente, analisamos um sistema formado por um pêndulo simples submetido a um torque externo constante. Em seguida, consideramos um sistema formado por um pêndulo duplo com segmentos de comprimentos e massas iguais, também submetidos a torques externos constantes e não nulos. A presença de pontos de equilíbrio degenerados nos casos dos pêndulos simples e duplo ocorre para certos valores dos torques externos.

In this second article on hamiltonian systems, we present the blow-up method for the determination of the nature of degenerate fixed points (equilibrium points). We apply the method to two hamiltonian models with one and two degrees of freedom respectively. Firstly we study a system formed by a simple pendulum subjected to a constant external torque. Then we consider a system formed by a double pendulum of segments with equal lengths and masses, also subjected to nonvanishing constant external torques. The presence of degenerate equilibrium points in both cases of simple and double pendulums occurs for some values of the external torques.

Um pêndulo duplo submetido a torques externos é usado para introduzir alguns fundamentos da teoria de Sistemas Dinâmicos para os cursos de graduação em Física, logo após o aluno ter cursado a disciplina de mecânica analítica. Este sistema mostra-se um bom exemplo para a introdução de tais técnicas. As equações de movimento de Hamilton indicam a existência de soluções estacionárias (pontos de equilíbrio) no espaço de fase do modelo. A identificação da natureza desses pontos de equilíbrio permite a descrição da dinâmica do sistema na vizinhança linear destes. Além disso, os resultados obtidos na vizinhança linear de um ponto de equilíbrio não são alterados pela introdução de torques externos constantes não-nulos. Neste trabalho enfatiza-se a análise da vizinhança linear dos pontos de equilíbrio.

A double pendulum submitted to external torques is employed to introduce some basic fundamentals of dynamical systems theory to physics undergraduate courses, soon after the student takes the analytical mechanics discipline. This system is a good example for the introduction of such techniques. Hamilton's equations of motion indicate the existence of stationary solutions (equilibrium points) in the phase space of the model. The identification of the nature of these points allows the description of the system dynamics around their linear neighborhood. Moreover, qualitative results obtained in the linear neighborhood of a fixed point are not changed by the introduction of non-vanishing constant external torques. This work emphasizes the analysis of the linear neighborhood of the equilibrium points.

In the present work, we use the formalism of quantum general relativity in order to quantize a Friedmann-Robertson-Walker model in the presence of a negative cosmological constant and radiation. The model has spatial sections with positive constant curvature. The wave-function of the model satisfies a Wheeler-DeWitt equation, for the scale factor, which has the form of the Schrödinger's equation for the quartic anharmonic oscillator. We find the eigenvalues and eigenfunctions by using a method first developed by Chhajlany and Malnev. After that, we use the eigenfunctions in order to construct wave-packets for evaluating the time-dependent, expected value of the scale factor. We find that, the expected value of the scale factor oscillates between maximum and minimum values. Since the scale factor never vanishes, we conclude that the model does not have a singularity.

We study an analytical solution to the Einstein's equations in 2 + 1-dimensions. The space-time is dynamical and has a line symmetry. The matter content is a minimally coupled, massless, scalar field. Depending on the value of certain parameters, this solution represents three distinct space-times. The first one is at space-time. Then, we have a big bang model with a negative curvature scalar and a real scalar field. The last case is a big bang model with event horizons where the curvature scalar vanishes and the scalar field changes from real to purely imaginary.