RESUMO Este trabalho visa melhorar o cálculo da direção de busca no Método de Pontos Interiores primal-dual usando métodos iterativos precondicionados. Trata-se de uma abordagem híbrida que combina o precondicionador Fatoração Controlada de Cholesky e o precondicionador Separador. Esta abordagem tem mostrado bons resultados, entretanto, nesses précondicioandores existem fatores que reduzem sua eficiência, como falhas na diagonal ao calcular a Fatoração Incompleta de Cholesky, assim como a demanda por memória excessiva no precondicionador Separador, entre outros. Assim, algumas modificações são propostas nestes precondicionadores, bem como uma nova mudança de fase, a fim de melhorar o desempenho da aboradagem híbrida. Na Fatoração Controlada de Cholesky, os parâmetros que controlam o preenchimento e a correção das falhas que ocorrem na diagonal são modificados, para tal considera-se a relação entre os componentes da Fatoração Controlada de Cholesky obtidos antes e depois da falha na diagonal. No precondicionador Separador, por sua vez, a base esparsa é construída usando um ordenamento apropriado das colunas da matriz do problema de otimização. Além disso, é apresentado um resultado teórico que mostra que, com a ordenação proposta, o número da condição da matriz de Equações Normais precondicionada com o Precondicionador Separador é uniformemente limitado por uma quantidade que depende apenas dos dados originais do problema e não da iteração do Método do Pontos Interiores. Experimentos numéricos com problemas de grande porte corroboram a robustez e eficiência computacional desta abordagem.

ABSTRACT This study aims to improve the computation of the search direction in the primal-dual Interior Point Method through preconditioned iterative methods. It is about a hybrid approach that combines the Controlled Cholesky Factorization preconditioner and the Splitting preconditioner. This approach has shown good results, however, in these preconditioners there are factors that reduce their efficiency, such as faults on the diagonal when performing the Cholesky factorization, as well as a demand for excessive memory, among others. Thus, some modifications are proposed in these preconditioners, as well as a new phase change, in order to improve the performance of the hybrid preconditioner. In the Controlled Cholesky Factorization, the parameters that control the fill-in and the correction of the faults which occur on the diagonal are modified. It considers the relationship between the components from Controlled Cholesky Factorization obtained before and after the fault on the diagonal. In the Splitting preconditioner, in turn, a sparse base is constructed through an appropriate ordering of the columns from constrained matrix optimization problem. In addition, a theoretical result is presented, which shows that, with the proposed ordering, the condition number of the preconditioned Normal Equation matrix with the Splitting preconditioner is uniformly limited by an amount that depends only on the original data of the problem and not on the iteration of the Interior Point Method. Numerical experiments with large scale problems, corroborate the robustness and computational efficiency from this approach.

RESUMO Este artigo apresenta uma comparação entre uma família de algoritmos simples para programação linear e o algoritmo de ajustamento pelo par ótimo. O algoritmo de ajustamento pelo par ótimo foi desenvolvido para melhorar a convergência do algoritmo de von Neumann que é um algoritmo muito interressante por causa de sua simplicidade. Porém não é muito prático resolver problemas de programação linear até a otimalidade com ele, visto que sua convergência ainda é muito lenta. A família de algoritmos simples surgiu da generalização do algoritmo de ajustamento pelo par aótimo, incluindo um parâmetro sobre o número de colunas escolhidas, em vez de manter fixa duas. Esta generalização preserva a simplicidade dos algoritmos e suas boas qualidades. Apresentamos experimentos numéricos sobre um conjunto de problemas de programação linear que mostram melhorias significativas em relação ao algoritmo de ajustamento pelo par ótimo.

ABSTRACT This paper presents a comparison between a family of simple algorithms for linear programming and the optimal pair adjustment algorithm. The optimal pair adjustment algorithm improvements the convergence of von Neumann’s algorithm which is very attractive because of its simplicity. However, it is not practical to solve linear programming problems to optimality, since its convergence is slow. The family of simple algorithms results from the generalization of the optimal pair adjustment algorithm, including a parameter on the number of chosen columns instead of just a pair of them. Such generalization preserves the simple algorithms nice features. Significant improvements over the optimal pair adjustment algorithm were demonstrated through numerical experiments on a set of linear programming problems.

RESUMO Uma das abordagens utilizadas para resolver o sistema linear que surge a cada iteração nos métodos de pontos interiores primal-dual é reduzi-lo a um sistema linear equivalente simétrico definido positivo, conhecido como sistema de equações normais, e aplicar a fatoração de Cholesky na matriz do sistema. A grande desvantangem desta abordagem é o preenchimento gerado durante a fatoração, o que pode tornar seu uso inviável, por limitação de tempo e memória. Com o intuito de contornar o problema de preenchimento gerado na fatoração de Cholesky, neste trabalho, estamos propondo uma abordagem que resolve de forma direta sistemas lineares aproximados do sistema de equações normais derivados de problemas de fluxo multiproduto e que exerce um certo controle sobre o preenchimento.

ABSTRACT One of the approaches used to solve the linear system that arises at each iteration in the primal-dual interior points methods is reduce it to an equivalent symmetrical positive defined linear system, known as normal equation system and apply the factorization in the system matrix. The major disavantage of this approach is the filling generated during factorization, which may turn their use impractical for limited time and memory. In order, to deal with the fill-in problem in the Cholesky factorization, in this paper, we proposed an approach that solve directly approximate normal equations linear systems derived from the multiproduct commodity problems and apply some control over the filling.

RESUMO Nesse artigo os métodos de pontos interiores primais-duais foram desenvolvidos para o problema de minimização das perdas na geração e transmissão do pré-despacho DC de um sistema de potência hidroelétrico onde ocorrem adicionalmente manobras programadas e reserva girante. São abordados tanto o aspecto do número de iterações para convergência do método quanto a eficiência da resolução dos sistemas lineares envolvidos para obtenção de iterações rápidas.

ABSTRACT In this paper the primal-dual interior point methods are developed for the problem of minimizing losses in the generation and transmission of the predispatch of a hydroelectric power system with programmed maneuvers and spinning reserve constraints. Both aspects, the number of iterations for the method to achieve convergence and the efficient solution of the resulting linear systems in order to obtain fast iterations are discussed.

Neste trabalho, comparamos duas versões precondicionadas do método dos gradientes conjugados. Essas versões diferem da versão clássica, pois consideram que o sistema linear e um sistema de equações normais. Os sistemas lineares que iremos resolver surgem do cálculo das direções dos métodos de pontos interiores. A determinação desta direção consiste no passo de maior esforço computacional e, quando trabalhamos com sistemas de grande porte, o uso de métodos diretos pode ser inviável. Portanto, uma opção é utilizar métodos iterativos precondicionados. Assim, o desempenho de duas versões do método dos gradientes conjugados precondicionado é comparado à versão clássica que já foi utilizada, neste mesmo contexto, em trabalhos anteriores. Resultados numéricos mostram que uma dessas versões é competitiva em relação à versão clássica.

This work presents two preconditioned versions of the conjugate gradient method. These versions differ from the classic version; they consider the linear system in form of normal equations. It will solve linear systems that arise from search directions computation in an interior point method. Determining the direction is the step with the largest computational effort and in large scale problems the use of direct methods might not be feasible. Therefore, one option is to use preconditioned iterative methods to solve the systems. The performances of these two versions of the preconditioned conjugate gradient methods are compared with the classic version. Numerical result shows that one of these versions is competitive with the classic one.

Nesse trabalho, consideramos o método preditor-corretor, que é uma das variantes mais importante do método de pontos interiores devido à sua eficiência e convergência rápida. No método preditor-corretor, é preciso resolver dois sistemas lineares a cada iteração para determinar a direção preditora-corretora. A resolução desses sistemas é o passo que requer mais tempo de processamento, devendo assim ser realizada de maneira eficiente. Para obter a solução dos sistemas lineares do método preditor-corretor consideramos dois métodos iterativos de Krylov: MINRES e método dos gradientes conjugados. Para que estes métodos convirjam mais rapidamente um pré-condicionador especialmente desenvolvido para os sistemas lineares oriundos dos métodos de pontos interiores é usado. Experimentos computacionais em um conjunto variado de problemas de programação linear foram realizados com o intuito de analisar a eficiência e robustez dos métodos de solução dos sistemas.

In this paper, we consider the predictor-corrector method, which is one of the most important variants of the interior point methods due to its efficiency and fast convergence. In the predictor-corrector method it is necessary to solve two linear systems at each iteration to determine the search direction. The solution of such systems is the step that requires more processing time and should therefore be carried out efficiently. Two iterative Krylov methods are considered to solve these linear systems of: the MINRES and the conjugate gradient method. A preconditioner specially developed for the linear systems arising from the interior point methods is used so that the iterative methods converge faster. Computational experiments in a some sets of linear programming problems are performed in order to analyse the efficiency and robustness of the linear systems solution methods.

Os métodos de pontos interiores barreira logarítmica e preditor-corretor são aplicados ao problema de regressão pela norma Lp com algumas particularidades com o objetivo de obter uma implementação eficiente. O problema de regressão tem inúmeras aplicações em diversas áreas. A norma-2 é muito popular, entre outros motivos, por permitir uma solução direta. Por sua vez, a norma-1 permite reduzir o efeito de pontos discrepantes enquanto que a norma-∞ garante proteção contra o pior caso. A norma-p permite pensar estas características de diferentes formas, adaptando o método ao problema a ser resolvido. A implementação do método de pontos interiores desenvolvida é comparada com métodos existentes.

The logaritmie barrier and predictor-corretor interior point methods are applied to the Lp norm fitting problem exploiting the matrix structure in order to obtain an efficient implementation.. The fitting problem has numerous applications in various areas. The 2-norin is very popular, among other reasons, for allowing a direct solution. The 1-norin allows the reduction of the effect of outliers while the ∞-norin provides protection against the worst case. The pnorm allows to think these characteristics in different ways adapting the method to the problem to be solved. The interior point method implementation to be developed is compared with existing methods.