Abstract The variational problem of the least uncomfortable journey between two locations on a straight line is simplified by a choice of the dependent variable. It is shown that taking the position, instead of the velocity, as the optimal function of time to be determined does away with the isoperimetric constraint. The same results as those found with the velocity as the dependent variable are obtained in a simpler and more concise way. Next the problem is generalized for motion on an arbitrary curve. In the case of acceleration-induced discomfort, it is shown that, as expected, motion on a curved path is always more uncomfortable than motion on a straight line. It is not clear that this is necessarily the case for jerk-induced discomfort, which appears to indicate that the acceleration provides a more reasonable measure of the discomfort than the jerk. The example of motion on a circular path is studied. Although we have been unable to solve the problem analytically, approximate solutions have been constructed by means of trial functions and the exact solution has been found numerically for some choices of the relevant parameters.

Tipicamente, pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável são movimentos harmônicos simples com frequência determinada pelo valor da segunda derivada da energia potencial no ponto de equilíbrio. Há casos anômalos, no entanto, em que a segunda derivada é nula e o termo de quarta ordem domina a expansão da energia potencial nas vizinhanças do mínimo. Neste caso, as pequenas oscilações são descritas pelo oscilador quártico. Por meio de um exemplo simples, em que ocorre a referida anomalia, discutimos o oscilador quártico e mostramos como sua equação de movimento pode ser resolvida em termos de funções elípticas de Jacobi. O exemplo oferece a oportunidade de familiarizar estudantes de graduação com essas funções importantes que não constam no currículo padrão dos cursos de física.

Typically, small oscillations about a stable equilibrium point are simple harmonic motions with frequency determined by the second derivative of the potential energy evaluated at the equilibrium point. There are anomalous cases, however, in which the second derivative vanishes and the fourth order term dominates the expansion of the potential energy in the neighborhood of the minimum. In this case, the small oscillations are described by the quartic oscillator. By means of a simple example, in which the said anomaly occurs, the quartic oscillator is discussed and it is shown how its equation of motion can be solved in terms of Jacobi elliptic functions. The example affords the opportunity to familiarize undergraduate students with these important functions that do not appear in the standard physics curriculum.

Sistemas mecânicos sujeitos a vínculos dependentes de velocidades ocorrem com frequência. O teorema de Frobenius permite decidir de forma inequívoca se vínculos que dependem linearmente das velocidades são ou não integráveis. Mostramos como se formula a condição de integrabilidade de Frobenius por meio da teoria das formas diferenciais exteriores e ilustramos sua aplicação a problemas interessantes de mecânica clássica. Por fim, discutimos a importância prática de identificar a natureza dos vínculos no que concerne à integrabilidade.

Mechanical systems subjected to velocity-dependent constraints occur frequently. The Frobenius theorem allows us to unequivocally decide whether constraints that depend linearly on the velocities are integrable or not. We show how to formulate the Frobenius integrability condition by means of the theory of exterior differential forms, and illustrate its application to interesting problems in classical mechanics. Finally, we discuss the practical importance of identifying the nature of the constraints as concerns integrability.

A geometria diferencial de curvas é aplicada à dinâmica de uma partícula em movimento no espaço tridimensional. As propriedades geométricas da trajetória são expressas em termos de grandezas dinâmicas associadas ao movimento. Estudamos, em particular, a conexão entre a curvatura, a torção e a força a que a partícula está sujeita. São encontradas as condições gerais que uma força deve satisfazer para que a trajetória seja plana independentemente das condições iniciais.

The differential geometry of curves is applied to the dynamics of a particle moving in tridimensional space. The geometric properties of the trajectory are expressed in terms of dynamical quantities associated with the motion. In particular, we study how curvature and torsion are connected with the force on the particle. General conditions are found that a force has to satisfy in order that the trajectory lies on a plane irrespective of the initial conditions.

São desfeitas três concepções matemáticas errôneas, porém recorrentes entre os físicos, relacionadas à "função" delta de Dirac.

Three mathematical misconceptions concerning Dirac's delta "function", recurring among physicists, are dispelled.

Discutimos o papel da intuição física na expressão do campo eletromagnético em termos de suas fontes no caso geral dependente do tempo. Entre as lições aprendidas, sobressai a de que é perigoso dissociar a intuição física da descrição matemática dos fenômenos.

We discuss the role played by physical intuition in expressing the electromagnetic field in terms of its sources in the general time-dependent case. Among the lessons learned, the one that stands out is that it is dangerous to dissociate physical intuition from the mathematical description of the phenomena.

Por meio de uma extensão natural da noção de representação paramétrica de superfícies no espaço euclidiano tridimensional, fazemos uma formulação geométrica do princípio de d'Alembert sem o uso de quantidades infinitesimais.

By means of a natural extension of the notion of parametric representation of surfaces in Euclidean three-dimensional space, we give a geometric formulation of d'Alembert's principle without the use of infinitesimal quantities.

É possível, por meios simples e diretos, encontrar as forças de vínculo para sistemas holônomos empregando as equações de Lagrange mas sem o uso da técnica dos multiplicadores de Lagrange. O método é descrito em sua generalidade e sua eficácia é demonstrada com a ajuda de alguns exemplos típicos.

It is possible, by simple and direct means, to find the forces of constraint for holonomic systems employing Lagrange's equations but without the use of the Lagrange multiplier technique. The method is described in its generality, and its effectiveness is demonstrated with the help of a few typical examples.

Será permitido, no contexto do método dos multiplicadores de Lagrange, supor que vínculos nao-holônomos já estão em vigor durante a construção da lagrangiana? Este procedimento, embora aplicado com sucesso ao problema da moeda rolante num livro recente, não tem validade geral, como demonstramos por meio de um contra-exemplo. Em muitos casos, o uso de vínculos nao-holônomos no processo de construção da lagrangiana é permitido, mas as equações de movimento corretas são as equações de Voronec.

Is it allowed, in the context of the Lagrange multiplier formalism, to assume that nonholonomic constraints are already in effect while setting up Lagrange's function? This procedure, although successfully applied in a recent book to the problem of the rolling penny, is not valid in general, as we show by means of a counterexample. In many cases the use of nonholonomic constraints in the process of construction of the Lagrangian is allowed, but the correct equations of motion are Voronec's equations.

O tratamento de vínculos não-holônomos na dinâmica lagrangiana exige cautela, pois procedimentos válidos para vínculos holônomos nem sempre se aplicam a vínculos não-holônomos. Fazemos uma revisão didática das principais propriedades dos vínculos não-holônomos, com destaque para certas sutilezas raramente ou nunca discutidas nos textos de mecânica analítica. Chamamos a atenção, também, para as pouco conhecidas equações de Voronec, que evitam multiplicadores de Lagrange.

The treatment of nonholonomic constraints in Lagrangian dynamics requires caution, since procedures valid for holonomic constraints do not always apply to nonholonomic constraints. We make a didactic review of the main properties of nonholonomic constraints, with emphasis on certain subtleties seldom or never discussed in texbooks on analytical mechanics. We also call attention to the little known Voronec equations, which avoid Lagrange multipliers.