Resumen: Un resultado reciente por parte del primer autor del artículo acerca de marcos muestra que para las iteraciones del operador multiplicativo Tφf = φf un sistema de la forma {φ n }∞ n=0 no puede ser un marco para L 2(a, b). La situación cambia radicalmente cuando se consideran sistemas de la forma {φ n }∞ n=- ∞ en vez de {φ n }∞ n=0 . El objetivo de este artículo es caracterizar marcos de la forma {φ n }( n=- ∞ que son iteraciones del operador multiplicativo T φ. En esta nota probamos que el problema se reduce al siguiente: Problema. Caracterice la clase de funciones ( para las cuales {e inα(.) }∞ n=- ∞ es un marco de L2(a, b). En este artículo damos una respuesta parcial al problema. Hasta donde sabemos, en el caso general el problema sigue abierto, no sólo para marcos, sino también para determinar cuándo la familia {e inα(.) }+∞ n=- ∞ es una base de Schauder y de Riesz e inclusive cuándo es una base ortonormal.

Abstract: A result from the recent paper of the first named author on frame properties of iterates of the multiplication operator Tφf = φf implies in particular that a system of the form {φ n }∞ n=0 cannot be a frame in L 2(a, b). The classical exponential system shows that the situation changes drastically when one considers systems of the form {φ n }∞ n=- ∞ instead of {φ n }∞ n= 0. This note is dedicated to the characterization of all frames of the form {φ n }∞ n=- ∞ coming from iterates of the multiplication operator T (. It is shown in this note that this problem can be reduced to the following one: Problem. Find (or describe a class of ) all real-valued functions α for which {e inα(.) }+∞ n=-∞ is a frame in L2(a, b). In this note we give a partial answer to this problem. To our knowledge, in the general statement, this problem remains unanswered not only for frame, but also for Schauder and Riesz basicity properties and even for orthonormal basicity of systems of the form {e inα(.) }+∞ n=-∞ .

O presente artigo aborda o problema da seleção da estrutura de modelos em algoritmos de controle preditivo para sistemas monovariáveis. Neste sentido, apresenta a utilização de modelos com estrutura dinâmica desenvolvida através de bases de funções ortonormais, como as funções de Laguerre, Kautz ou funções ortonormais generalizadas. Os principais aspectos relacionados com esta classe de modelos no contexto de controladores preditivos lineares com restrições terminais, não lineares e robusto são discutidos e uma revisão bibliográfica é apresentada. O desempenho de malha fechada das estratégias analisadas é ilustrado através de dois casos de estudo envolvendo uma incubadora para recém nascidos e um processo simulado de polimerização isotérmica.

This paper presents an overview about predictive control schemes based on orthonormal basis function models. Different predictive control schemes based on such models are discussed, namely, linear controllers with terminal (stabilizing) constraints, robust controllers, and non-linear controllers. The discussions comprise a broad bibliographical survey on the subject as well as two case studies involving a simulated dynamic system and a real process.

O presente artigo apresenta uma visão geral do estado da arte na área de identificação de sistemas utilizando modelos dinâmicos com estrutura desenvolvida através de bases de funções ortonormais, como as funções de Laguerre, Kautz ou funções ortonormais generalizadas. Discute-se as vantagens e possíveis limitações desse tipo de estrutura bem como os fundamentos matemáticos dos modelos correspondentes nos contextos de identificação linear, linear com incertezas paramétricas (identificação robusta) e não linear, incluindo uma revisão bibliográfica abrangente sobre o tema. Diferentes realizações de modelos com funções de base ortonormal, a saber, modelos lineares, de Volterra, fuzzy e neurais, são detalhadas e discutidas comparativamente em termos de capacidade de representação, parcimônia, complexidade de projeto e interpretabilidade. Aspectos práticos da identificação desses modelos são também apresentados e ilustrados através de dois casos de estudo envolvendo um processo simulado de polimerização isotérmica.

In this paper, an overview about the identification of dynamic systems using orthonormal basis function models, such as those based on Laguerre and Kautz functions, is presented. The mathematical foundations of these models as well as their advantages and limitations are discussed within the contexts of linear, robust, and nonlinear identification. The discussions comprise a broad bibliographical survey on the subject and a comparative analysis involving some specific model realizations, namely, linear, Volterra, fuzzy, and neural models within the orthonormal basis function framework. Theoretical and practical issues regarding the identification of these models are also presented and illustrated by means of two case studies related to a polymerization process.

In this paper, non iterative algorithms for the identification of (multivariable) Hammerstein and Wiener systems are presented. The proposed algorithms are numerically robust, since they are based only on least squares estimation and singular value decomposition. For the Hammerstein model, the algorithm provides consistent estimates even in the presence of coloured output noise, under weak assumptions on the persistency of excitation of the inputs. For the Wiener model, consistency of the estimates can only be guaranteed in the noise free case. Key in the derivation of the results is the use of rational orthonormal bases for the representation of the linear part of the systems.