Abstract: Piecewise linear maps appear in mathematical models to describe systems from electrical engineering, physical sciences and economics recently also appears in models of neural activity. It is considered a family with 4 parameters of piecewise increasing linear maps on the real line ℝ using the theory of piecewise continuous increasing transformations on the compact intervals to study the existence of an attractor set and describe the dynamics of the attractor, verifying the existence of periodic orbits, transitivity and the existence of ergodic invariant measures. The different values of the parameter where the family exhibits an attractor interval are specifically demonstrated. The necessary and sufficient conditions are tested for the attractor set to be globally attractor. in fact, in this case it is proved that the dynamics of said attractor behaves like the dynamics of the Poincaré rotation on the unit circle. Also, it is described under what conditions in the parameters the family exhibits a topological attractor. Finally, the existence of absolutely continuous ergodic invariant measures to the Lebesgue measure associated with the family restricted to the attractor is proven, the case in which the measure is equivalent to the Lebesgue measure is even tested.

Resumen: Las funciones lineales por parte (o a trozos) aparecen como modelos matemáticos para describir sistemas provenientes de la ingeniería eléctrica, ciencias físicas y economía, recientemente también aparece en modelos de la actividad neuronal. Se considera una familia a 4 parámetros de funciones lineales crecientes por parte sobre la recta real ℝ usando la teoría de funciones continua crecientes por parte sobre intervalos compactos para estudiar la existencia de conjuntos atractores y describir la dinámica del atractor, verificando la existencia de órbitas periódicas, transitividad y la existencia de medidas ergódicas invariantes. Se demuestra específicamente los diferentes valores del parámetro donde la familia exhibe un intervalo atractor. Se prueba las condiciones necesarias y suficientes para que el conjunto atractor sea globalmente atractor, de hecho, en este caso se prueba que la dinámica de dicho atractor se comporta como la dinámica de la rotación de Poincaré del círculo unitario. También, se describe bajo qué condiciones en los parámetros la familia exhibe un atractor topológico. Finalmente se prueba la existencia de medidas invariantes ergódicas absolutamente continua a la medida de Lebesgue asociado a la familia restricta al atractor, inclusive se prueba el caso equivalente a la medida de Lebesgue.

Resumen El principal resultado de este artículo es la prueba de la acotación de la Función Maximal T* del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck {T t } t≥0 en ℝ d sobre espacios de Lebesgue variables respecto de la medida Gaussiana L p(·) (γ d ), asumiendo una condición de regularidad en p(·) siguiendo [5] y [8]. Como consecuencia inmediata de éste resultado se obtiene la acotación- L p(·) (γ d ) del semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck {T t } t≥0 en ℝ d . Otras consecuencias del resultado es la acotación L p(·) (γ d ) del semigrupo Poisson-Hermite y la acotación L p(·) (γ d ) de los potenciales de Bessel Gaussianos de orden β > 0.

Abstract The main result of this paper is the proof of the boundedness of the Maximal Function T* of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup {T t } t≥0 in ℝ d , on Gaussian variable Lebesgue spaces L p(·) (γ d ), under a condition of regularity on p(·) following [5] and [8]. As an immediate consequence of that result, the Lp(·)(γ d )-boundedness of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup {T t } t≥0 in ℝ d is obtained. Another consequence of that result is the Lp(·)(γ d )-boundedness of the Poisson-Hermite semigroup and the Lp(·)(γ d )-boundedness of the Gaussian Bessel potentials of order β > 0.

Resumen En esta nota anunciamos los resultados de nuestra investigación sobre las propiedades L p de operadores pseudodiferenciales multilineales periódicos y/o discretos. Primero, revisaremos el análisis multilineal de tales operadores mostrando versiones análogas de los teoremas clásicos disponibles en el análisis multilineal euclidiano (debidos a Coifman y Meyer, Tomita, Miyachi, Fujita, Grafakos, Tao, etc.), pero, en el contexto de operadores periódicos y/o discretos. Se caracterizará la s-nuclearidad, 0 < s ≤ 1, para operadores multilineales pseudodiferenciales periódicos y/o discretos. Para cumplir este objetivo se clasificarán aquellos operadores lineales s-nucleares, 0 < s ≤ 1, multilineales con núcleo, sobre espacios de Lebesgue arbitrarios definidos en espacios de medida σ-finitos. Finalmente, como aplicación de los resultados presentados se obtiene la versión periódica de la desigualdad de Kato-Ponce, y se examina la s-nuclearidad de potenciales de Bessel lineales y multilineales, como también la s-nuclearidad de operadores integrales de Fourier periódicos admitiendo símbolos con tipos adecuados de singularidad.

Abstract In this note we announce our investigation on the L p properties for periodic and discrete multilinear pseudo-differential operators. First, we review the periodic analysis of multilinear pseudo-differential operators by showing classical multilinear Fourier multipliers theorems (proved by Coifman and Meyer, Tomita, Miyachi, Fujita, Grafakos, Tao, etc.) in the context of periodic and discrete multilinear pseudo-differential operators. For this, we use the periodic analysis of pseudo-differential operators developed by Ruzhansky and Turunen. The s-nuclearity, 0 < s ≤ 1, for the discrete and periodic multilinear pseudo-differential operators will be investigated. To do so, we classify those s-nuclear, 0 < s ≤ 1, multilinear integral operators on arbitrary Lebesgue spaces defined on σ-finite measures spaces. Finally, we present some applications of our analysis to deduce the periodic Kato-Ponce inequality and to examine the s-nuclearity of multilinear Bessel potentials as well as the s-nuclearity of periodic Fourier integral operators admitting suitable types of singularities. MSC2010: 58J40, 47B10, 47G30, 35S30.