Resumo O sistema dos números reais é o domínio numérico no qual conceitos são desenvolvidos e propriedades da Análise Matemática ligadas a sequências e séries numéricas, funções contínuas, funções deriváveis e a noção de integrabilidade, entre outras, são validadas. Esses desenvolvimentos teóricos são possíveis em ℝ e não em ℚ devido a uma propriedade que distingue esses dois corpos totalmente ordenados: a propriedade de completude. Neste artigo, apresentamos o desenho e os resultados de uma proposta pedagógica para introduzir a propriedade de completude através da convergência de sequências monótonas crescentes e limitadas superiormente. O projeto da proposta considera o duplo caráter de ferramenta e objeto de uma noção matemática (Douady, 1992) e o metadiscurso das noções FUG (Dorier, 1995). Utilizamos uma abordagem metodológica interpretativa-qualitativa e um método de estudo de caso (Bisquerra, 2009). A análise e interpretação dos dados nos permitem afirmar que três dos quatro alunos que participaram da experiência conseguiram pôr em funcionamento o caráter de ferramenta explícita e de objeto da completude. numéricas contínuas integrabilidade outras validadas ordenados artigo superiormente Douady, Douady (Douady 1992 Dorier, Dorier (Dorier 1995. 1995 . 1995) interpretativaqualitativa interpretativa qualitativa Bisquerra, Bisquerra (Bisquerra 2009. 2009 2009) 199 200 19 20 1 2

Resumen El sistema de los números reales es el dominio numérico en el cual se desarrollan conceptos y se validan propiedades del Análisis Matemático vinculadas a sucesiones y series numéricas, funciones continuas, funciones derivables y la noción de integrabilidad, entre otros. Estos desarrollos teóricos son posibles en ℝ y no en ℚ debido a una propiedad que distingue a estos dos cuerpos totalmente ordenados: la propiedad de completitud. En este trabajo, presentamos el diseño y los resultados de una propuesta de enseñanza para introducir la propiedad de completitud vía la convergencia de las sucesiones monótonas crecientes y acotadas superiormente. El diseño de la propuesta considera el doble carácter de herramienta y de objeto de una noción matemática (Douady, 1992) y el metadiscurso de las nociones FUG (Dorier, 1995). Utilizamos un enfoque metodológico interpretativo-cualitativo y como método el estudio de casos (Bisquerra, 2009). El análisis e interpretación de los datos nos permiten afirmar que tres de los cuatro estudiantes que participaron de la experiencia, lograron poner en funcionamiento el carácter de herramienta explícita y de objeto de la completitud. numéricas continuas integrabilidad otros ordenados trabajo superiormente Douady, Douady (Douady 1992 Dorier, Dorier (Dorier 1995. 1995 . 1995) interpretativocualitativo interpretativo cualitativo Bisquerra, Bisquerra (Bisquerra 2009. 2009 2009) experiencia 199 200 19 20 1 2

The object of the present paper is to study submanifolds of (k,μ)-contact manifolds. We find the necessary and sufficient conditions for a submanifolds of (k,μ)-contact manifolds to be invariant and anti-invariant. Also, we examine the integrability of the distributions involved in the definition of CR-submanifolds of (k,μ)-contact manifolds.

El objeto del presente artículo es estudiar subvariedades de variedades (k,μ)-contacto. Encontramos las condiciones necesarias y suficientes para que subvariedades de variedades (k,μ)-contacto sean invariantes y anti-invariantes. También examinamos la integrabilidad de las distribuciones involucradas en la definición de subvariedades CR de variedades (k,μ)-contacto.

La evaluación de cambios en el bienestar, desde un enfoque microeconómico, se ha concentrado en el cálculo de la variación equivalente y compensatoria a través del enfoque de integrabilidad. Sin embargo, el uso de esta metodología implica especificar de manera precisa la función de demanda de un bien o servicio. Dentro de las áreas sociales, la aproximación de funciones de demanda presenta varios inconvenientes, por lo que se pretende testear la robustez del algoritmo de Vartia y verificar si, en sectores como el de la educación, esta metodología puede constituirse en un mecanismo alternativo para la medición del bienestar cuando existen cambios en los niveles de precio.

The standard approach in order to assess the changes in welfare is the calculation of the equivalent variation or the compensating variation, which relies in what the literature has been called the integrability method. This methodology needs a precise and well defined demand function. In general the use of empirical approximations for this demand function has many drawbacks. In this paper we test the robustness ofVartia algorithm instead of applying the integrability method. We verify that, in sectors like education, this algorithm can be used as an alternative mechanism to assess the changes in the welfare when the level of prices changes.

Se utiliza un enfoque algebraico basado en la descomposión de grupos para mostrar la integrabilidad de un sistema de infinitas ecuaciones de Lax con doble corchete.

A group factorization approach is used to show the integrability of a system of infinite equations of Lax type with double bracket.

Noether's theorem relating continuous symmetries of a Lagrangian system to the existence of conserved quantities is shown to be valid at the level of the variational equations of the system. This result can be helpful in the study of perturbations and of integrability in various areas of current interest. As examples, we derive conserved quatities in linearized general relativity and obtain conserved quantities valid in perturbed classical dynamics.

Demostramos que el teorema de Noether, que relaciona simetrías continuas de un sistema lagrangiano con la existencia de cantidades conservadas, es también válido para las ecuaciones variacionales del sistema. Este resultado puede ser de utilidad tanto en la teoría de perturbaciones como en estudios sobre integrabilidad en diversas áreas de interés actual. A guisa de ejemplo encontramos una cantidad conservada en relatividad general mediante el análisis de las simetrías de la gravitación linealizada, y, por otro lado, obtenemos una cantidad conservada muy simple que es válida en la mecánica clásica perturbada.