Abstract: This study aims to analyze changes in mental actions associated with the covariational reasoning of one pair of students when working on tasks to approach the concept of definite integral through Riemann sums. Mental actions are gathered from student interactions in GeoGebra, from their written reports, and from a semi-structured interview applied to one pair of students from an engineering school in Mexico. Data are analyzed with the theoretical construct of covariational reasoning. The results show an evolution in the way students coordinate simultaneous changes between the variables involved in tasks, from the no coordination level to the chunky continuous covariation level. It is concluded that questions to propose conjectures on the use of rectangles in approximation processes to the area of a region, including their justification, and the process of inferring behaviors from hypothetical situations, reveal behaviors associated with higher levels of covariational reasoning.

Resumen: Este trabajo tiene como objetivo analizar el cambio en las acciones mentales asociadas con el razonamiento covariacional de una pareja de estudiantes cuando trabajan en tareas para aproximarse al concepto de integral definida mediante sumas de Riemann. Para conocer sobre las acciones mentales, se utilizan las interacciones en GeoGebra, los reportes escritos y una entrevista semiestructurada aplicada a los estudiantes de una escuela de ingeniería en México. Los datos fueron analizados con el constructo teórico del razonamiento covariacional. Los resultados muestran una evolución en la forma en que coordinan los cambios simultáneos entre las variables involucradas en las tareas, desde el nivel de sin coordinación hasta la covariación continua a trozos. Se concluye que las preguntas para proponer conjeturas sobre el uso de rectángulos en procesos de aproximación al área de una región y su justificación, o inferir resultados sobre situaciones hipotéticas, visibilizan comportamientos asociados con niveles superiores de razonamiento covariacional.

Resumen La integral definida es un concepto central en las aplicaciones del cálculo a las ciencias experimentales e ingeniería por lo que es un tema de investigación didáctica relevante. En este trabajo se analizan los diversos significados de la integral definida aplicando herramientas teóricas del Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática, en particular, la interpretación del significado en términos de sistemas de prácticas operativas y discursivas relativas a la resolución de tipos de problemas y el modelo de niveles de algebrización de la actividad matemática. Se identifican tipos de situaciones-problemas y configuraciones de prácticas, objetos y procesos que permiten caracterizar y articular los diversos significados parciales de la integral definida (geométrico-intuitivo, como límite de sumas de Riemann y función acumulativa) así como de sus extensiones al caso de integral dobles (como caso particular de las múltiples) y de línea, desde los más intuitivos a los más formales. El análisis permite identificar los grados de generalidad de los objetos del cálculo integral y el papel del álgebra en la caracterización de los significados de la integral definida, que deben considerarse en la planificación y gestión de los procesos de enseñanza y aprendizaje del cálculo integral en las carreras de ingeniería.

Resumo A integral definida é um conceito central nas aplicações de cálculo para as ciências experimentais e engenharia, tornando-o um tópico relevante de pesquisa didática. Este trabalho analisa os diferentes significados do integral definido aplicando ferramentas teóricas da abordagem ontosemiótica ao conhecimento e à instrução matemática, em particular a interpretação do significado em termos de sistemas de práticas operacionais e discursivas relacionadas com a resolução de tipos de problemas e o modelo de níveis de algebrização da atividade matemática. São identificados tipos de situações problemáticas e configurações de práticas, objectos e processos que nos permitem caracterizar e articular os vários significados parciais da integral definida (geométrico-intuitiva, como limite das somas de Riemann e função cumulativa), bem como as suas extensões ao caso da integral dupla (como caso particular do múltiplo) e da linha, desde a mais intuitiva até à mais formal. A análise permite-nos identificar os graus de generalidade dos objectos de cálculo integral e o papel da álgebra na caracterização dos significados da integral definida, que devem ser tidos em conta no planeamento e gestão dos processos de ensino e aprendizagem do cálculo integral nos graus de engenharia.

Résumé L'intégrale définie est un concept central dans les applications du calcul aux sciences expérimentales et à l'ingénierie, ce qui en fait un sujet de recherche didactique pertinent. Cet article analyse les différentes significations de l'intégrale définie en appliquant les outils théoriques de l'approche ontosémiotique de la connaissance et de l'enseignement des mathématiques, en particulier l'interprétation de la signification en termes de systèmes de pratiques opérationnelles et discursives liées à la résolution de types de problèmes et le modèle des niveaux d'algèbre de l'activité mathématique. On identifie des types de situations-problèmes et des configurations de pratiques, d'objets et de processus qui permettent de caractériser et d'articuler les différentes significations partielles de l'intégrale définie (géométrique-intuitive, comme limite des sommes de Riemann et fonction cumulative) ainsi que ses extensions au cas de l'intégrale double (comme cas particulier du multiple) et de la ligne, du plus intuitif au plus formel. L'analyse nous permet d'identifier les degrés de généralité des objets du calcul intégral et le rôle de l'algèbre dans la caractérisation des significations de l'intégrale définie, ce qui doit être pris en compte dans la planification et la gestion des processus d'enseignement et d'apprentissage du calcul intégral dans les diplômes d'ingénieur.

Abstract The definite integral is a central concept in the applications of calculus to experimental sciences and engineering, and consequently, a relevant didactic research topic. This paper analyses the different meanings of the definite integral by applying theoretical tools of the ontosemiotic approach to mathematical knowledge and instruction, particularly, the interpretation of meaning in terms of systems of operational and discursive practices related to the resolution of types of problems and the algebraization levels model of mathematical activity. Types of problem-situations and configurations of practices, objects, and processes are identified that allow us to characterize and articulate the various partial meanings of the definite integral (geometric-intuitive, as a limit of Riemann sums and cumulative function) as well as its extensions to the case of the double integral (as a particular case of the multiple) and the line, from the most intuitive to the most formal. The analysis allows us to identify the generality degrees of the objects of integral calculus and the role of algebra in the characterization of the meanings of the definite integral, which must be considered in the planning and management of the processes of teaching and learning of integral calculus in engineering degrees.

Resumen En este trabajo se presentan algunas desigualdades de tipo Hermite-Hadamard para procesos estocásticos convexos usando la integral fraccional de Katugampola, y de estos resultados se deducen casos específicos para la integral fraccionaria de Riemann-Liouville y la integral de Riemann.

Abstract In this work we present some Hermite-Hadamard type inequalities for convex Stochastic Processes using the Katugampola fractional integral, and from these results specific cases are deduced for the Riemann-Liouville fractional integral and Riemann integral. Also, a refinement of the aforementioned inequality is presented. MSC2010: 60E15, 26B25, 26A33.

Resumen En este trabajo se presenta un algoritmo de cómputo para calcular la Transformada Discreta de Ambigüedad y mediante sus representaciones en el espacio tiempo-frecuencia caracterizar y analizar las señales temporales producidas por vibraciones mecánicas. Partiendo de la igualdad de Riemann entre la integral acotada de una función continua y el límite al infinito de la sumatoria de la misma función se obtiene una versión discreta de la transformada. El programa fue escrito para software de computo simbólico en MATHEMATICA 10 ©, que con su transformada de Fourier compilada permite reducir el tiempo de cómputo. Se caracterizan y analizan los registros de vibración del eje de las máquinas de rotación, se comparan con funciones diseñadas compuestas de sinusoides de frecuencias constantes y moduladas linealmente. La metodología seguida es útil y eficiente para conocer la composición estructural y el comportamiento de señales de vibración mecánica.

Abstract In this work, a computer algorithm is presented to calculate the Discrete Ambiguity Transform and through its representations in the time-frequency space to characterize and analyze the temporal signals produced by mechanical vibrations. Starting from the equality of Riemann between the bounded integral of a continuous function and the limit to infinity of the sum of the same function, a discrete version of the transform is obtained. The program was written for symbolic computing software in Mathematica 10 ©, which with its compiled Fourier transform allows reducing computation time. The vibration registers of the axis of rotating machines are characterized and analyzed then compared with designed functions composed of sinusoids of constant and linearly modulated frequencies. The methodology followed is useful and efficient to know the structural composition and behavior of mechanical vibration signals.

In this paper we shall establish sufficient conditions for the existence of solutions of a class of fractional differential equation (Cauchy type ) and its solvability in a subset of the Banach space. The main tool used in our study is the non-expansive operator technique. The non integer case is taken in sense of Riemann Liouville fractional operators. Applications are illustrated.

En este artículo establecemos condiciones suficientes para la existencia de soluciones de una clase de ecuaciones diferenciales fraccionales (del tipo Cauchy) y su solubilidad en un subconjunto de un espacio de Banach. La principal herramienta utilizada en nuestro estudio es la técnica del operador no expansivo. El caso no entero se escoge en el sentido de operadores fraccionales Riemann-Liouville. Además, se ilustran aplicaciones.

Esta investigación tiene como objetivo caracterizar el desarrollo del esquema de la integral definida en estudiantes de ingeniería de ciencias de la tierra usando una métrica fuzzy para determinar el grado de desarrollo en los niveles intra, inter y trans (Piaget y García, 1984). Los resultados muestran la dificultad de los estudiantes para relacionar la sucesión de sumas de Riemann con su dependencia del valor n de la partición, como una manifestación de la relación entre la sucesión de sumas de Riemann y el paso al límite que configura el significado de la integral definida.

The purpose of this research is to characterize the development of the scheme for the integral as defined by earth science engineering students using fuzzy metrics in order to establish the level of development on intra, inter and trans levels (Piaget & García, 1984). The results demonstrate the difficulty of students to link the succession of Riemann sums with their dependence on the n value of the partition, as a manifestation of the relationship between the succession of Riemann sums and the step to the limit which forms the meaning of the defined integral.

Esta pesquisa tem como objetivo caracterizar o desenvolvimento do esquema da integral definida em estudantes de engenharia de ciências da terra, usando uma métrica fuzzy para determinar o grau de desenvolvimento nos níveis intra, inter e trans (Piaget e García, 1984). Os resultados mostram a dificuldade dos estudantes para relacionar a sucessão de somas de Riemann com sua dependência do valor n da partição, como uma manifestação da relação entre a sucessão de somas de Riemann e a passagem ao limite que configura o significado da integral definida.

L'objectif de ce travail de recherche consiste à interpréter la compréhension du schéma de l'intégrale définie chez les étudiants en ingénierie sciences de la nature en utilisant un espace métrique flou afin de déterminer le degré de développement aux niveaux intra, inter et trans (Piaget et García, 1984). Les résultats montrent que les étudiants ont du mal à faire la relation entre la succession des sommes de Riemann avec leur dépendance au paramètre n en tant que relation entre la succession des sommes de Riemann et le passage à la limite qui donne forme à la signification de l'intégrale définie.