Abstract We present a theoretical framework to study equilibrium configurations of filaments within a spinor representation of curves. The curve representing the filament is described by a unit two-component spinor field and its charge conjugate satisfying two-dimensional equations coupled by the curvature and torsion. The spinor field replaces the Frenet-Serret frame, whereas its structure equations replace the Frenet-Serret equations. Employing this spinorial description of curves, we derive the Euler-Lagrange equations of curves whose energies depend on their curvature and torsion. We analyze the conservation laws of the spinors representing the balance of the forces and torques along the filament. We illustrate this framework by applying these results to the Euler Elastica, whose bending energy is quadratic in the curvature.

ABSTRACT The rotational inverted pendulum or Furuta Pendulum is a mechatronic system used by control engineers to explore a various dynamic modeling and control schemes. Due to its nonlinear nature, open-loop instability, and because it is an under-actuated system (more degrees of freedom than actuators), which is the basis for the design of vehicles such as the Segway, the self-balancing scooter, hoverboard, or self-balancing board, among others. The authors present a model for the Furuta Pendulum using the equations of Euler-Lagrange and the methodology to identify a black-box model by training an NNARMAX (Neural Network Auto-Regressive Moving Average with exogenous inputs). The results show that two interconnected MISO-NNARMAX estimates 10-step-ahead predictions accurately for the horizontal and vertical angles.

RESUMEN El péndulo invertido rotacional o péndulo de Furuta es un sistema mecatrónico usado por los ingenieros de control para explorar una variedad de modelos dinámicos y sistemas de control debido a su naturaleza no lineal, inestabilidad en lazo abierto y porque es un sistema que posee mas grados de libertad que actuadores, por lo que es la base para el diseño de vehículos como el segway, la tabla de dos ruedas autoequlibrada, aeropatín o tabla flotante entre otros. Los autores presentan un modelo para el péndulo de Furuta usando las ecuaciones de Euler-Lagrange y una metodología para identificar un modelo de caja negra entrenando una NNARMAX (por sus siglas en inglés, Red Neuronalpara un Modelo Autoregresivo de Media Movil con Entrada Externa). Los resultados muestran que dos modelos MISO-NNARMAX interconectados estiman de forma precisa predicciones de 10 pasos adelante para los angulos vertical y horizontal.

RESUMO Um novo formalismo é proposto para estudar a dinâmica de sistemas mecânicos compostos por N corpos rígidos conectados, introduzindo o conceito de vetores compostos 6N-dimensionais. A abordagem é baseada em trabalhos anteriores dos autores, nos quais um formalismo completo foi desenvolvido por meio dos conceitos usuais de geometria diferencial, álgebra linear e sistemas dinâmicos. Esse novo formalismo é um método para a descrição de sistemas mecânicos como um todo e não como cada parte separada. As equações de Euler-Lagrange são facilmente obtidas por meio desse formalismo.

ABSTRACT A new formalism is proposed to study the dynamics of mechanical systems composed of N connected rigid bodies, by introducing the concept of 6N-dimensional composed vectors. The approach is based on previous works by the authors where a complete formalism was developed by means of differential geometry, linear algebra, and dynamical systems usual concepts. This new formalism is a method for the description of mechanical systems as a whole and not as each separate part. Euler-Lagrange’s Equations are easily obtained by means of this formalism.

Abstract: The current research paper presents the dynamic model from a UAV (Unmmaned Aerial Vehicle) type quad copter. The mentioned model simulates closest behavior, respect to a real performance when realizes basic movements. In order to develop the math, model the quadcopter has been considered as a rigid object with 6 DOF (six degrees of freedom), which is divided into translational and rotational coordinates, using a technique based on Euler-Lagrange Equations to model. In that way is possible to acquire the expressed transfer function on the quadcopter dynamic model. The UAV’s rotational dynamic is defined by the most important inertia moments, located in the vehicle center of mass. The inertia moments had been estimated using ‘Solidworks’ software. To achieve it the quadcopter was assembled with a minimum quantity of parts, after that, the design was uploaded into Simulink software to add complete the results including a 3d animation. A Control Strategy was attached to the quadcopter design, to stabilize the described plants, finally the performance is corroborated applying him external perturbations like gusts of wind, variable masses, looking to create instability during the flight, expecting for a system controlled reaction. The results showed the UAV stabilize to his reference position in less than twelve seconds (12) against a gust of wind that caused its horizontal displacement. This is an important application of the rotational dynamics of the UAV, using Simulink and the Simscape Multibody library in conjunction with Solidworks. Achieving a tool of great interest and therefore a significant contribution to the study of UAVs, giving the possibility of using of a practical tool for the design of quadrotors focused on different applications, such as precision agriculture.

Resumen: El propósito de este trabajo fue el de realizar el modelo dinámico de un vehículo aéreo no tripulado (VANT) tipo quadrotor, que simule el comportamiento real del mismo, de tal manera que el quadrotor pueda realizar sus movimientos básicos con el mínimo error posible. Para realizar dicho modelo matemático se consideró al quadrotor como un cuerpo rígido de seis grados de libertad en donde el sistema es dividido en coordenadas traslacionales y rotacionales al manejar una técnica para la modelación, mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange, y así obtener la función de transferencia, expresada en las plantas del modelo dinámico que describe el comportamiento del quadrotor. La dinámica rotacional del VANT fue definida por los principales momentos de inercia, los cuales fueron hallados en el centro de masa del vehículo, dichos momentos fueron estimados a través del software de entorno CAD Solidworks. Para ello, el quadrotor se ensambló allí con el mínimo de partes posibles y luego el diseño se exportó a Simulink para complementar los resultados de la simulación con una animación en 3D del movimiento. Al diseño de la estructura se le implementó una estrategia de control que estabiliza las plantas ya descritas y se corroboró el funcionamiento del sistema al aplicar al mismo, perturbaciones externas como lo son las ráfagas de viento y masas variables que puedan producir inestabilidad durante el vuelo, logrando que ante este tipo de señales el sistema reaccione de forma controlada. En los resultados se observó que la simulación de una ráfaga de viento en donde el VANT cambio su posición en los ejes de desplazamiento horizontal, este mismo logró llegar nuevamente a su posición de referencia en menos de doce (12) segundos. Lo anterior constituye una importante aplicación de la dinámica rotacional del Vehículo Aéreo No Tripulado, al utilizar Simulink y la librería Simscape Multibody en conjunto con Solidworks, lográndose una herramienta de gran interés y por ende un aporte significativo para el estudio de los VANT, dando posibilidad del uso de una herramienta práctica para el diseño de quadrotores, enfocados en diferentes aplicaciones, tales como la agricultura de precisión.

RESUMO Uma nova ferramenta matemática é desenvolvida, a análise complexa (min, +), que permite definir um novo cálculo variacional, análogo ao cálculo clássico (equações de Euler-Lagrange e Hamilton-Jacobi), que é adequado para funções definidas de ℂ n em ℂ. Aplicamos este cálculo variacional complexo a` teoria de Born-Infeld de eletromagnetismo, e mostramos porque efeitos não lineares não são exibidos.

ABSTRACT One develops a new mathematical tool, the complex (min, +)-analysis which permits to define a new variational calculus analogous to the classical one (Euler-Lagrange and Hamilton Jacobi equations), but which is well-suited for functions defined from ℂ n to ℂ. We apply this complex variational calculus to Born-Infeld theory of electromagnetism and show why it does not exhibit nonlinear effects.

Métodos variacionais têm um longo e destacado papel na física teórica. Poucos são os nossos estudantes que quando apresentados pela primeira vez a estes métodos não são tomados de admiração por sua elegância e eficiência na formulação e solução de problemas físicos. Neste trabalho fazemos uso da abordagem variacional que leva às equações de Euler-Lagrange na determinação da forma da superfície de uma massa de água que preenche parcialmente um recipiente cilíndrico que gira com velocidade angular constante (o balde de Newton). Aqui, essa abordagem nos levará ao princípio de minimização da energia potencial efetiva associada com o sistema. O efeito de uma pressão externa sobre sobre a forma de equilíbrio também é levado em conta e dois modelos, o modelo da pressão constante e o modelo linear são discutidos. O nível da discussão é acessível aos estudantes de graduação inscritos em um curso de mecânica clássica de nível intermediário.

Variational methods have a long and remarkable role in theoretical physics. Few of our students when first exposed to them fail to admire their elegance and efficacy in the formulation and solution of physical problems. In this paper we apply the variational approach that leads to the Euler-Lagrange equations to the determination of the shape of the surface of a mass of water that partially fills a cylindrical bucket that rotates with constant angular velocity (Newton's bucket). Here this approach will lead us to the principle of minimization of the effective potential energy associated with the system. The effect of an external pressure on the equilibrium shape is also taken into account and two models, the constant pressure model and the linear model are discussed. The level of the discussion is kept accessible to undergraduates taking an intermediate level course in classical mechanics.

The study of optimal control techniques is of interest in various types application which required the control of complex dynamical systems, one of this cases are Unmanned Aerial Vehicles (UAV). UAV have been used in diverse fields such as: civil engineering, agriculture, disaster management, etc. Such UAV require control strategies that guarantee their stability, reject external disturbances and measurement noise. The results obtained when applying optimal control techniques to a stationary platform, powered by four motors, are presented. A comparative analysis of the results for the different controls obtained is made. For this comparison, performance specifications of the time response were used and the performance index was calculated for each implemented strategy. The analysis includes the development of the steady state platform dynamic model by means of Euler-Lagrange equations of motion, obtaining a MIMO system described by six state equations and four inputs. The first optimal control technique studied was the linear quadratic regulator (LQR) with a state-observer. This implementation required the evaluation of different performance index weight matrices Q and R until a satisfactory response of the system was obtained. The next technique studied was the implementation of the LQ controller with Kalman filter (linear quadratic Gaussian regulator, LQG) and the use of Loop Transfer Recovery (LTR) to recover the robustness characteristics of LQR. Results obtained show the viability of applying such optimal control techniques to unmanned aerial vehicles, obtaining the best results with the LQG/ LTR technique.

El estudio de las técnicas de control óptimo es de interés en varias aplicaciones que requieran controlar sistemas dinámicos complejos, uno de estos casos son los vehículos aéreos no tripulados (UAV). Los UAV han sido utilizados en diversos campos como: ingeniería civil, agricultura, manejo de desastres, etc. Dichos UAV requieren estrategias de control que garanticen su estabilidad, rechacen los disturbios externos y el ruido en las medidas. Se presentan los resultados obtenidos aplicando técnicas de control óptimo a una plataforma de vuelo estacionaria propulsada por cuatro motores. Se hace un análisis comparativo de los resultados obtenidos con los distintos controladores. Como criterios de comparación se utilizaron las especificaciones de desempeño de la respuesta temporal y se computó el índice de desempeño para cada estrategia implementada. El análisis incluye el desarrollo del modelo dinámico de la plataforma de vuelo estacionario mediante las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, obteniendo un sistema MIMO descrito por seis ecuaciones de estado y cuatro entradas. La primera técnica de control óptimo estudiada fue el regulador cuadrático lineal (LQR) junto con estimador del vector de estado. Esta implementación requirió la evaluación de distintas matrices de peso Q y R del índice de desempeño hasta obtener una respuesta satisfactoria del sistema. La siguiente estrategia fue la implementación del controlador LQ con filtro de Kalman (regulador cuadrático lineal Gaussiano, LQG) y el uso de Loop Transfer Recovery (LTR) para recobrar las características de robustez del LQR. Los resultados obtenidos muestran la viabilidad de aplicar dichas técnicas de control óptimo a vehículos aéreos, obteniendo los mejores resultados para la técnica del LQG con LTR.

Se estudió el movimiento de partículas sometidas a cuatro perfiles de pulsación en un concentrador gravimétrico, mediante lechos fluidizados pulsados tipo jig, el cual es muy utilizado en la industria minera para la concentración de minerales pesados. Los perfiles de pulsación utilizados en la simulación fueron senoidal, triangular, diente de sierra atrasado y diente de sierra adelantado. Las velocidades locales bidimensionales del campo de flujo de agua se calcularon a partir de las ecuaciones de continuidad y momentum, por medio de técnicas CFD mediante la implementación del algoritmo SIMPLE. El movimiento de las partículas se modela mediante un balance de fuerzas aplicando la segunda ley de movimiento de Newton. Las fuerzas de interacción sólido-líquido se calculan mediante el modelo matemático Euleriano-Lagrangiano, extendido a una suspensión de partículas que poseen distribución amplia de tamaño y densidad. Para analizar el movimiento de las partículas, se deriva una ecuación de trayectoria que muestra la respuesta en el tiempo de las partículas, que incluye las fuerzas de masa virtual, gravedad, gradiente de presión, arrastre y Basset. El estudio mostró que la trayectoria de las partículas es muy sensible a la forma de onda aplicada en la condición de frontera a la entrada de la cámara del jig.

A study of particle motion subjected to four different pulsation profiles on a pulsated fluidized bed jig concentrator was carried out. The profiles used in the simulation were - sinusoidal, triangle, sawtooth-backward and sawtooth-forward. Two-dimensional local velocities of the water flow field were calculated from the continuity and momentum equations by CFD techniques implementing SIMPLE algorithm. The particle motion is modeled by a forces balance applying the Newton’s second law of motion. Liquid-solid interactions forces are calculated by the mathematical Euler-Lagrangian model extended to a particle suspension having a wide size and density distribution. To analyze the particle motion in jig, we derived a trajectory equation for the response time of particle that include virtual mass, gravity, pressure gradient, drag and Basset forces. The study demonstrates significant differences in the particle trajectories for various pulsation profiles applied to the boundary condition at the inlet to the jig chamber.

The generalized Hamiltonian representation of systems gives structural advantages that can be used in many areas. Some of these are the design of nonlinear observer and model-based fault diagnosis. Many works have as start point the generalized Hamiltonian representation and there is no explication of the way in which this representation is obtained, as for example, starting from the Euler-Lagrange representation of the systems. In this work, a detailed analysis of how this representation is obtained from the n second order differential equations that describe a nonlinear Euler Lagrange system model is presented. In order to show in particular, after the general case, how the generalized Hamiltonian representation is obtained, some case studies are presented.

La representación Hamiltoniana generalizada de sistemas brinda una estructura que puede ser utilizada con ventaja en muchas áreas, entre las cuales se puede mencionar el diseño de observadores y el diagnóstico de fallas basado en modelos. Muchos de los trabajos en estos temas tienen como punto de partida al sistema en forma Hamiltoniana generalizada y, en general, se omite la explicación de cómo llegar a esta representación, por ejemplo, a partir de un modelo no lineal basado en las ecuaciones de Euler-Lagrange. En este trabajo se presenta un análisis detallado de cómo es que se obtiene la representación Hamiltoniana generalizada de un sistema a partir de las n ecuaciones diferenciales de segundo orden obtenidas con el formalismo Euler-Lagrange. Con la finalidad de mostrar en lo particular, después del caso general, cómo se obtiene la representación Hamiltoniana generalizada, se presentan algunos casos de estudio.

We give an elementary derivation of the equations for the point symmetries of the Euler-Lagrange equations for a Lagrangian of a system with a finite number of degrees of freedom. We show that given a divergence symmetry of a Lagrangian, there exists an equivalent Lagrangian that is strictly invariant under that transformation. The corresponding description in the Hamiltonian formalism is also investigated.

Damos una derivación elemental de las ecuaciones para las simetrías puntuales de las ecuaciones de Euler-Lagrange para una lagrangiana de un sistema con un número finito de grados de libertad. Mostramos que dada una simetría hasta una divergencia de una lagrangiana, existe una lagrangiana equivalente que es estrictamente invariante bajo esa transformación. También se investiga la descripción correspondiente en el formalismo hamiltoniano.

This paper describes the dynamic model of the wheeled mini mobile robot built in the Icimaf whose traction is achieved by means of two motors coupled to two lined plastic wheels with a rubber layer to facilitate its movement and a directional small castor wheel. The necessary jacobian structure is elaborated for the development of the dynamic model.The analysis of a special feature of these robots is included that is its nature non holonómic, in contrast with the robots manipulators, what gives place to a type of restriction of the movement. The elaboration of the dynamic model originated the employment of the Lagrange's multipliers. For the obtaining dynamic equations the Euler-Lagrange' method is used.

El presente trabajo describe el modelo dinámico del mini robot móvil construido en el Icimaf, cuya tracción se logra mediante dos motores de paso acoplados a dos ruedas plásticas forradas con una capa de goma para facilitar su movimiento y una pequeña rueda direccional. Se elabora la estructura jacobiana necesaria para el desarrollo del modelo dinámico. Se incluye el análisis de un rasgo especial de estos robots, que es su naturaleza no holonómica, en contraste con los robots manipuladores, lo que da lugar a un tipo de restricción del movimiento. La elaboración del modelo dinámico originó el empleo de los multiplicadores de Lagrange. Para la obtención de las ecuaciones dinámicas se emplea el método de Euler-Lagrange

Three non inductive current drive methods that can be applied to compact toroids are studied. The use of neutral beams to drive current in field reversed configurations and spheromaks is studied using a Monte Carlo code that includes a complete ionization package and follows the exact particle orbits in a self-consistent equilibrium calculated including the beam and plasma currents. Rotating magnetic fields are investigated as a current drive method for spherical tokamaks by employing a two dimensional model with fixed ions and massless electrons. The time evolution of the axial components of the magnetic field and vector potential is obtained by combining an Ohm's law that includes the Hall term with Maxwell's equations. The use of helicity injection to sustain a flux core spheromak is studied using the principle of minimum rate of energy dissipation. The Euler-Lagrange equations obtained using helicity balance as a constraint are solved to determine the current and magnetic field profiles of the relaxed states.