Abstract In this research article, we delimitate the definition of mild solution for abstract fractional differential equations with state-dependent delay (AFDEw/SDD) of order α ∈ (1, 2) with impulsive effects and compare the solution to the second-order impulsive differential equations. Further, we obtain sufficient conditions of the existence of mild solution for instantaneous and non-instantaneous impulsive fractional functional differential inclusions with state-dependent delay (IFDIw/SDD) using the multi-valued fixed point theory and operator techniques. Furthermore, we study the trajectory controllability (T −controllability) of the AFDEw/SDD. At last, we present some examples to illustrate the sufficient conditions involving partial and ordinary derivatives.

Resumen En este artículo de investigación, delimitamos la definición de solución mild para ecuaciones diferenciales fraccionarias con retardo dependiente del estado (AFDEw/SDD) de orden α ∈ (1, 2) con efectos impulsivos y comparamos la solución con aquellas de ecuaciones diferenciales impulsivas de segundo orden. Además obtenemos condiciones suficientes para la existencia de soluciones mild de inclusiones funcionales diferenciales fraccionales instantánea y no-instantáneamente impulsivas con retardo dependiente del estado (IFDIw/SDD) usando la teoría de punto fijo multivaluados y técnicas de operadores. Más aún, estudiamos la controlabilidad por trayectoria (T −controlabilidad) de los AFDEw/SDD. Finalmente, presentamos algunos ejemplos para ilustrar las condiciones suficientes que involucran derivadas parciales y ordinarias.

ABSTRACT The main goal of this work is to examine the periodic dynamic behavior of some retarded periodic partial differential equations (PDE). Taking into consideration that the linear part realizes the Hille-Yosida condition, we discuss the Massera’s problem to this class of equations. Especially, we use the perturbation theory of semi-Fredholm operators and the Chow and Hale’s fixed point theorem to study the relation between the boundedness and the periodicity of solutions for some inhomogeneous linear retarded PDE. An example is also given at the end of this work to show the applicability of our theoretical results.

RESUMEN El principal objetivo de este trabajo es examinar el comportamiento dinámico periódico de algunas ecuaciones diferenciales parciales (EDP) periódicas con retardo. Tomando en consideración que la parte lineal cumple la condición de Hille-Yosida, discutimos el problema de Massera para esta clase de ecuaciones. Especialmente usamos la teoría de perturbaciones de operadores semi-Fredholm y el teorema de punto fijo de Chow y Hale para estudiar la relación entre el acotamiento y la periodicidad de soluciones para algunas EDP no homogéneas lineales con retardo. Se entrega un ejemplo al final de este trabajo para mostrar la aplicabilidad de los resultados teóricos.

Resumen Los modelos transdiagnósticos para los problemas de ansiedad, depresión y somatización han tenido evidencia para variables como la rumiación cognitiva y el afecto negativo; sin embargo, las asociaciones diferenciales entre estas dos variables en la explicación psicopatológica requiere aún ser investigada. El objetivo fue analizar la relación entre la rumiación cognitiva según las dimensiones de la rumiación: reproche y reflexión, con el afecto negativo y los síntomas psicopatológicos internalizantes depresivos, ansiosos y psicosomáticos en adultos colombianos. Se llevó a cabo una investigación cuantitativa con un diseño transversal explicativo, en el que se definió una red estructural de relaciones entre constructos mediante un diagrama de senderos y ecuaciones estructurales. Se contó con una muestra final de 640 personas, con una edad media de 31.07 años (DE = 11.27). Los resultados indicaron correlaciones significativas parciales y de orden cero entre las variables transdiagnósticas y las sintomáticas internalizantes, mediante un modelo ajustado que permitió explicar en un 74 % estas problemáticas a partir de la rumiación cognitiva y la función mediadora parcial del afecto negativo. En los síntomas depresivos y ansiosos se obtuvo que están mediados parcialmente por el afecto negativo, mientras que la medida de somatización obtuvo un coeficiente de regresión significativo con el afecto negativo como predictor independiente. Estos resultados aportan a la comprensión de la interacción de la rumiación y el afecto en la aparición de los síntomas internalizantes de manera diferencial. Se recomendó contar con una muestra clínica que ayudaría a identificar con mayor precisión la varianza explicada del modelo obtenido, lo que favorecerá los actuales tratamientos transdiagnósticos disponibles.

Abstract The transdiagnostic models of anxiety, depression and somatization problems have had evidence for variables such as cognitive rumination and negative affect, however, the differential associations between these two variables in the psychopathological explanation, still need to be investigated. The aim was to analyze the relationship between cognitive rumination according to the two dimensions: brooding and reflection, with negative affect and depressive, anxious, and psychosomatic internalizing psychopathological symptoms. A quantitative research was carried out with an explanatory cross-sectional design in which a structural network of relationships between constructs was defined by a path diagram and structural equations. There was a final sample of 640 people with a mean age of 31.07 years (SD = 11.27). The results indicated significant partial and zero-order correlations between transdiagnostic and internalizing symptomatic variables, using an adjusted model that allowed explaining these problems in 74% from cognitive rumination, and the partial mediating function of negative affect. In depressive and anxious symptoms, they were partially mediated by the negative affect, while the somatization measure obtained a significant regression coefficient with the negative affect as an independent predictor. These results contribute to the understanding of the interaction of rumination and affect in the appearance of differential internalizing symptoms. It was recommended to have a clinical sample that would help to more accurately identify the explained variance of the obtained model, as well as favor the current and available transdiagnostic treatments.

Abstract: In this article we present the outlines of the proofs of the classical Mountain Pass Theorem by Ambrosetti and Rabinowitz and the topological Mountain Pass Theorem by Katriel. We study the particular applications of these theorems: existence of solutions for partial differential equations and homeomorphisms theorems, respectively. We prove that there exists a theorem in critical point theory in finite dimension that can be seen as a common application of both results. We made an analysis of the theoretical characteristics of the structure of the proofs of each theorem and finally we show if there is a logical relation between them.

Resumen: En este artículo se presentan los esquemas de demostración del Teorema de Paso de Montaña clásico de Ambrosetti y Rabinowitz y del Teorema de Paso de Montaña topológico de Katriel. Se estudian brevemente las aplicaciones particulares de dichos teoremas: existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales y teoremas de homeomorfismos, respectivamente. Se demuestra que existe un teorema en teoría de puntos críticos en dimensión finita que puede verse como una aplicación en común de ambos resultados. Se hace un análisis de las características teóricas de la estructura de las demostraciones de ambos teoremas y para finalizar, se buscan relaciones lógicas entre éstos.

Abstract In this paper, we investigate the existence and uniqueness of solutions for the Darboux problem of partial differential equations with Caputo-Katugampola fractional derivative.

Resumen En este artículo investigamos la existencia y unicidad de soluciones para el problema de Darboux de ecuaciones diferenciales parciales con derivada fraccional de Caputo-Katugampola.

Resumen En el artículo se exponen aspectos importantes sobre los operadores de molificación discreta y las derivadas fraccionarias. Los operadores de molificación se definen a partir de convoluciones con núcleos gaussianos truncados en una o en dos dimensiones. Se incluye aquí una descripción de sus orígenes y de sus principales propiedades, y se describen en detalle dos aplicaciones que indican su gran utilidad. Las aplicaciones se basan en ecuaciones diferenciales parciales difusivas con derivadas temporales fraccionarias, derivadas que, como se explicará más adelante, merecen el calificativo de ilustres. La primera aplicación consiste en la solución estable de un problema inverso de advección-dispersión con derivada temporal fraccionaria, en el que la concentración es desconocida en la frontera de un dominio unidimensional semiinfinito. La segunda aplicación es la solución estable de un problema inverso bidimensional de identificación de un término fuente en una ecuación de difusión con derivada temporal fraccionaria. En cada caso se incluye la descripción del problema, la implementación de la molificación, el método de solución y algunos experimentos numéricos. En cuanto al problema en dos dimensiones, se incluyen resultados recientemente publicados.

Abstract This paper deals with discrete mollification operators and fractional derivatives. The mollification operators are based on convolutions with truncated Gaussian kernels in one and two dimensions. We begin with a description of their origin and main properties and then we consider two applications that show the usefulness of these operators. Both applications are based on time-fractional diffusion equations. Fractional derivatives deserve to be called illustrious, as we will see later. The first application consists of the stable solution of an inverse problem for a time fractional advection-dispersion equation. The problem consists of the identification of the boundary concentration in a one-dimensional semi-infinite setting. The second application is the stable solution of a problem of source term identification in a bidimensional time-fractional diffusion equation. In each case, we include a description of the problem, the mollification implementation, the method of solution, and some numerical experiments. For the two dimensions problem we include results that were recently published.

El tratamiento industrial de castaña requiere de una forma práctica y rápida de poder determinar el tiempo requerido para que el centro de la castaña alcance la temperatura de la superficie, es decir el tiempo requerido para el establecimiento del equilibrio térmico en el procesamiento. A este efecto se realiza la simulación del proceso de calentamiento adoptando una simetría esférica y radios equivalentes. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) que describen el proceso son evaluadas en el centro de la castaña e impuesta la condición correspondiente al equilibrio térmico. Las ecuaciones trascendentes resultantes son evaluadas mediante técnicas numéricas obteniéndose valores del grupo adimensional (Foeq) que cumplen las condiciones impuestas y permiten determinar el tiempo requerido para el establecimiento del equilibrio para diferentes tamaños de castaña. Dos escenarios fueron estudiados, el primero, despreciando la resistencia externa a la transferencia de calor, mientras que el segundo la incluye. En el primer caso se hace necesario conocer la conductividad térmica efectiva de la castaña y la conductividad térmica efectiva y el coeficiente pelicular en fase gaseosa para el segundo. A pesar de conocerse la solución analítica del problema se requiere de aplicaciones de técnicas de análisis numérico reiteradas habida cuenta de la naturaleza de las soluciones y los requisitos impuestos. El modelo derivado y resuelto analíticamente puede ser validado experimentalmente por experimentación sencilla en laboratorio.

RESUMEN La propagación de las ondas sísmicas se ven afectadas por el tipo de medio donde se transmiten. Por lo tanto se requiere solucionar un sistema de ecuaciones diferenciales en derivada parcial que permitan identificar las ondas que se propagan en el medio elástico, Este documento resume una investigación donde se usó un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que representan la ecuación de onda utilizando el método de diferencias finitas para obtener la respuesta del medio elástico, usando una malla intercalada. Para evitar las reflexiones en las fronteras computaciones se utilizaron fronteras absorbentes con el método PML. La implementación del esquema numérico se realizó en dos arquitecturas de cómputo (CPU y GPU) que comparten el mismo tipo de distribución de memoria. Finalmente, se crearon diferentes versiones del código para aprovechar la arquitectura en la memoria de la GPU, se realiza una análisis detallado de variables como utilización y ancho de banda de la memoria interna de la GPU, además de una versión la cual no se ve limitada por la cantidad de memoria interna en la unidad de procesamiento grafico sino por la cantidad de memoria que tiene todo el sistema de cómputo.

ABSTRACT The propagation of seismic waves is affected by the type of transmission media. Therefore, it is necessary to solve a differential equation system in partial derivatives allowing for identification of waves propagating into an elastic media. This paper summarizes a research using a partial differential equation system representing the wave equation using the finite differences method to obtain the elastic media response, using an staggered grid. To prevent reflections in the computational regions, absorbent boundaries were used with the PML method. The implementation of the numerical scheme was made on two computational architectures (CPU and GPU) that share the same type of memory distribution. Finally, different code versions were created to take advantage of the architecture in the GPU memory, performing a detailed analysis of variables such as usage of bandwidth of the GPU internal memory, added to a version that is not limited by the internal memory in the graphic processing unit, but rather by the memory of the whole computational system.

Resumen [18] Se formula un modelo de ecuaciones diferenciales parciales no lineal y con estructura de edad, que incluye inmigración en un periodo breve de tiempo y sus efectos en la población. Los inmigrantes pueden ser de cualquier clase en el modelo: susceptibles, infectados o recuperados. Se discute además la estabilidad global del equilibrio correspondiente al mo- delo libre de infección e inmigración. Un método numérico general es discutido, y se exploran escenarios específicos con inmigración en perio- dos cortos de tiempo.

Abstract [14] We formulate an age-structured nonlinear partial differential equation model that features short-term immigration effects in a population. In- dividuals can immigrate into the population as any of the three stages in the model: susceptible, infected or recovered. Global stability of the immigration-free and infection-free equilibria is discussed. A generalized numerical framework is established and specific short-term immigration scenarios are explored.

Abstract: The necessity to deal with partial differential equations (PDEs) and the dissipation condition are the main adversities in the application of Interconnection and Damping Assignment Passivity-Based Control (IDA-PBC). Recently, an algebraic solution of IDA-PBC has been explored for a class of affine polynomial systems by using sum of squares (SOS) and semidefinite programming (SDP). In this work, we extend the previous method by incorporating actuator saturation (AS) and two minimization objectives in the SDP. Our results are validated on two polynomial systems.

Resumen: La solución de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y la condición de disipación son las principales adversidades en la aplicación de Interconnection and Damping Assignment Passivity-Based Control (IDA-PBC). Recientemente, se ha explorado una solución algebraica de IDA-PBC para una clase de sistemas polinomiales utilizando el método de suma de cuadrados (SOS) y la programación semidefinida (SDP). En este trabajo se amplía el método anterior incorporando saturación en los actuadores (AS) y dos objetivos de minimización en la SDP. Nuestros resultados son validados en dos sistemas polinómicos.

An original 2nd-order Method of Characteristics (MOC) which it works with a five-point interpolating scheme valid for solving the hyperbolic and quasilinear partial differential equations that describe the transient flow phenomenon in pipelines is shown. The results obtained by both MOC 2nd-order and exact solution (MOC 1st-order) are compared. It is shown that MOC 2nd-order allows obtain near-to-exact results within a wide range of Courant numbers.

Se muestra una versión original del Método de las Características (MC) de 2do orden que trabaja con un esquema de interpolación de cinco puntos, válido para resolver las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas y cuasi-lineales que describen el fenómeno del flujo transiente en redes de tuberías. Se comparan los resultados obtenidos por el MC 2do orden y la solución exacta (MC 1er orden). Se demuestra que el MC 2do orden permite obtener resultados cercanos a los exactos dentro de una amplia gama de números de Courant.

Resumen Se estudia la existencia y unicidad de la solución débil de un problema de difusión estratificada no lineal. Para ésto, se construye un método alternativo basado en sustituciones sucesivas de una aproximación lineal del problema original. Empleando la teoría de ecuaciones diferenciales parciales y usando inducción matemática se prueba que cada uno de los problemas lineales de la iteración tiene una única solución débil, obteniendo así, una sucesión de soluciones débiles. Finalmente, se demuestra que dicha suseción es de Cauchy y que converge a la solución débil del problema.

Abstract We study the existence and uniqueness of the solution of a non-linear stratified diffusion problem. To this aim, we construct an alternative method based on successive substitutions of a linear approximation of the original problem. We use the theory of partial differential equations and mathematical induction to prove that each of the linear problems of the iteration has a unique weak solution. Finally, we prove that the sequence of weak solutions obtained is a Cauchy sequence that converges to the weak solution of the problem.

Resumen Esta nota está basada en la charla de posesión como Miembro Correspondiente de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas Físicas y Naturales. En ella describo algunos de los resultados recientes en un área de análisis que está enfocada en entender la relación entre las propiedades geométricas de un dominio y el comportamiento hacia la frontera de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales en este dominio.

Abstract This paper is a summary of the talk given with the occasion of the author’s induction as Corresponding Member of the Academia Colombiana de Ciencias Exactas Fisicas y Naturales. We describe recent results in an area of analysis which focuses on the relationship between the geometric properties of a domain and the behavior near the boundary of the solutions to canonical PDEs in this domain.

Resumen En este trabajo se presenta los lineamientos teóricos que identifica la existencia de una bifurcación genérica de Hopf, con o sin parámetros, a través de un punto o una línea de puntos de equilibrio para un sistema dinámico continúo. Con estos lineamientos definidos, se analiza la bifurcación de Hopf sin parámetros a través del estudio de contornos viscosos para un sistema de ecuaciones diferenciales parciales conformado por un término de reacción - difusión; con condición inicial constante a trozos y una línea de puntos de equilibrio que presenta un par de valores propios complejos conjugados con parte real nula en su linealización a medida que se aproxima al origen. En condiciones adecuadas, se distinguen dos casos para este tipo de bifurcación genérica de Hopf sin parámetros: hiperbólica y elíptica, genéricas en el sentido que es una bifurcación controlada en una línea de puntos de equilibrio.

Abstract In this paper, we present the theoretical guidelines that identify the presence of a generic Hopf bifurcation, with or without parameters, through a point or a line of equilibrium points for a continuous dynamic system. With these defined guidelines, the Hopf bifurcation without parameters is analyzed through the study of viscous contours for a system of partial differential equations conformed by a reaction-diffusion term; with initial condition constant to pieces and a line of equilibrium points that presents a pair of complex eigenvalues conjugated with null real part in its linearization as it approaches the origin. Under appropriate conditions, two cases are distinguished for this type of generic Hopf bifurcation without parameters: hyperbolic and elliptical, generic in the sense that it is a controlled bifurcation in a line of equilibrium points.

El metodo estocástico de Monte Carlo se aplica para resolver ecuaciones diferenciales parciales que tienen condiciones de contorno abiertas, es decir, ecuaciones cuyo dominio de solucion es infinito. Aplicamos este método a la ecuación de Laplace y a la ecuación de difusion, las cuales modelan fenómenos estacionarios y fenómenos de evolución temporal respectivamente, que son de mucho interes en la física. Como un primer paso se comprueba la eficacia del metodo de Monte Carlo al comparar los resultados numéricos con las soluciones analíticas de problemas conocidos. El siguiente paso fue aplicar el metodo a problemas físicos mas complejos que no tienen solución analítica. Encontramos que en el caso de la ecuacion de difusion, el método de Monte Carlo se aplica directamente sobre el dominio infinito del problema, mientras que en los metodos numéricos más comunes se requiere acotar el dominio del problema.

The stochastic Monte Carlo method is applied to solve partial differential equations with open boundary conditions, i.e., equations that have solutions in an infinite domain. First, we test the effectiveness of the Monte Carlo method by comparing results with the analytical solutions of known problems. Next, we applied the method to more complex physical problems that have no analytical solution. We found that in the case of the diffusion equation, the Monte Carlo method is applied directly on the infinite domain of the problem, while in the most popular numerical methods a bound solution domain is required.