ABSTRACT Disturbance of the blood supply to the brain is the main cause of cerebrovascular disease. This disturbance may be due to ischemia (thrombosis, arterial embolism) or to hemorrhage. In this study, the feasibility and potentialities of the electrical bioimpedance technique for monitoring unilateral brain damage was analyzed using a computerized model. The simulations were performed on a hemispheric numerical model of the human head. The electric potentials were obtained by solving Laplace's equation in the frequency domain. A hemispheric electrical asymmetry index was introduced that allows determining the approximate location of the damaged region within the damaged hemisphere, and its evaluation was performed for several conductivities and lesion volumes. A negative value was obtained for ischemia (potential amplitude in the ischemic hemisphere greater than in the intact hemisphere), whereas for hemorrhage a positive value was found. The simulations revealed that variations in electrical conductivity and the volume of damaged tissue have an effect on the hemispheric asymmetry of electrical potential at the surface.

RESUMEN La alteración del suministro de sangre al cerebro es la principal causa de la enfermedad cerebrovascular. Esta alteración puede deberse a una isquemia (trombosis, embolismo arterial) o a una hemorragia. En este estudio se analizó la viabilidad y las potencialidades de la técnica de bioimpedancia eléctrica para monitorear el daño cerebral unilateral utilizando un modelo computacional. Las simulaciones se realizaron en un modelo numérico hemisférico de la cabeza humana. Los potenciales eléctricos se obtuvieron mediante la solución de la ecuación de Laplace en el dominio de la frecuencia. Se introdujo un índice de asimetría eléctrica hemisférica que permite determinar la localización aproximada de la región dañada dentro del hemisferio dañado, el cual fue evaluado para varias conductividades y volúmenes de lesión. Se obtuvo un valor negativo para la isquemia (amplitud del potencial en el hemisferio isquémico mayor que en el hemisferio intacto), mientras que para la hemorragia se obtuvo un valor positivo. Las simulaciones evidenciaron que las variaciones en la conductividad eléctrica y el volumen del tejido dañado tienen un efecto sobre la asimetría hemisférica del potencial eléctrico en la superficie.

Abstract: The equipotential lines of the field generated by the cell used in dielectric measurements of whole fruit tomato are plotted. This cell consists of two inclined electrodes, at inverse potentials, and is an adaptation made in the Dielectric Laboratory of the cell used by Varlan-Sansen. To obtain the graphs, the Laplace equation was solved by finite differences and a program in Fortran language was written, which performs the calculations by numerical iteration. The field generated by the cell at different electrode separation distances was analyzed.

Resumen: Se grafican las líneas equipotenciales del campo generado por la celda utilizada en mediciones dieléctricas de tomate fruta entera. Esta celda consta de dos electrodos inclinados, a potenciales inversos, y es una adaptación realizada en el Laboratorio de Dieléctricos de la celda utilizada por Varlan-Sansen. Para obtener las gráficas se resolvió la ecuación de Laplace por diferencias finitas y se escribió un programa en lenguaje Fortran, que realiza los cálculos por iteración numérica. Se analizó el campo generado por la celda a diferentes distancias de separación de los electrodos.

Abstract We explicitly show that the groups of 2 × 2 unitary matrices with determinant equal to 1 whose entries are double or dual numbers are homomorphic to ${\rm SO}(2,1)$ or to the group of rigid motions of the Euclidean plane, respectively, and we introduce the corresponding two-component spinors. We show that with the aid of the double numbers we can find generating functions for separable solutions of the Laplace equation in the ( 2 + 1 ) Minkowski space, which contain special functions that also appear in the solution of the Laplace equation in the three-dimensional Euclidean space, in spheroidal and toroidal coordinates.

Resumen Mostramos explícitamente que los grupos de matrices unitarias 2 × 2 con determinante igual a 1 cuyas entradas son números dobles o números duales son homomorfos a ${\rm SO}(2,1)$ o al grupo de movimientos rígidos del plano euclideano, respectivamente, e introducimos los espinores de dos componentes correspondientes. Mostramos que con la ayuda de los números dobles podemos hallar funciones generatrices para soluciones separables de la ecuación de Laplace en el espacio de Minkowski ( 2 + 1 ), las cuales contienen funciones especiales que también aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en el espacio euclideano tridimensional, en coordenadas esferoidales y toroidales.

ABSTRACT The field of differential equations has recently gained attention due to recent developments in science and technology. For this reason, the analysis for the use of new methodologies to solve them has become important. Based on the combination of Laplace Transform method (LT) and Perturbation Method (PM) this article pro- poses the Laplace transform-Perturbation Method (LT-PM) which finds its motivation on the application of LT to linear ordinary differential equations. The goal of this work is to propose a modification of PM - the LT-PM), in order to solve nonlinear perturbative problems with boundary conditions defined on finite intervals. The proposed methodology consisted on the application of LT to the differential equation to solve and then, assuming that its solutions can be expressed as a series of perturbative parameter powers. Thus, the solution of the problem is obtained by systematically applying the transformed inverse LT. The main results of this paper were shown through two case studies, where LT-PM is identified as potentially useful for finding multiple solutions to nonlinear problems. Additionally, the LT-PM enhances the applicability of PM, in some cases of mixed and Neumann boundary conditions, where PM is unsuitable to provide the results. With the purpose of verifying the accuracy of the obtained results, the Square Residual Error (SRE) was calculated. The resulting value was extremely low, which showed the precision and potential of LT-PM. We conclude that, although the proposed method resulted efficient for the case studies presented in this article, it is expected that LT-PM can be a potentially useful tool for other case studies. Particularly those related to the practical applications of science and engineering.

RESUMEN El campo de las ecuaciones diferenciales ha cobrado auge en la actualidad por el desarrollo científico y tecnológico. Por esta situación, el estudio de nuevas metodologías para solucionarlas se ha vuelto importante. A partir de la combinación del método de Laplace Transform (LT) y el método de perturbación (PM) este trabajo presenta el método LT-PM, y su motivación se encuentra en la aplicación conocida de la LT a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. El objetivo de este trabajo fue presentar una modificación del método de perturbación (PM), el método de perturbación con transformada de Laplace (LT-PM), con el fin de resolver problemas perturbativos no lineales, con condiciones a la frontera definidas en intervalos finitos. La metodología consistió en aplicar LT a la ecuación diferencial por resolver y después de asumir que la solución de la misma se puede expresar como una serie de potencias de un parámetro perturbativo, se obtiene la solución del problema aplicando sistemáticamente la transformada inversa de Laplace. Los principales resultados de este trabajo se muestran a partir de dos casos de estudio presentados, donde se observa que LT-PM es potencialmente útil para encontrar soluciones múltiples de problemas no lineales. Además, LT-PM mejora la aplicabilidad del método de perturbación en algunos casos de condiciones a la frontera mixtas y de Neumann, donde PM simplemente no funciona. Con el fin de verificar la exactitud de los resultados obtenidos, se calculó su error residual cuadrático (SRE), el cual resultó muy bajo, de donde se dedujo su precisión y la potencialidad de LT-PM. Se concluye que si bien el método propuesto resulta eficiente en los casos particulares presentados, se espera que sea una herramienta potencialmente eficiente y útil para otros casos de estudio, particularmente, en aquellos relacionados con aplicaciones prácticas en ciencias e ingeniería.

RESUMEN Desarrollamos un arreglo experimental y una simulacion numérica para calcular la interaccion Coulombiana entre partículas cargadas confinadas. En este trabajo se ha elaborado un sistema de validacion, para establecer la interacción entre estas partículas y el contorno de confinamiento. Mediante la implementacion de un método de relajación para la ecuación de Laplace, usando una red 3D, podemos simular la configuracion de equilibrio para un sistema con pocas partículas. Ademas, se hace una comparación con el arreglo experimental con muchas partículas. Nuestra simulacion está, razonablemente de acuerdo, con la suposición de la interaccion Coulombiana.

ABSTRACT We have developed an experimental set up and a numerical simulation to calculate the Coulomb interaction between confined charged particles. In this work we have elaborated a validation system to establish the interactions among these particles and the confining boundary. By implementing the relaxation method for the Laplace equation using a 3D grid, we can simulate the equilibrium configuration for a system with few particles. Also, a com-parison is made with an experimental set up with many particles. Our simulation yields a reasonable agreement with the assumption of a Coulombian interaction.

El metodo estocástico de Monte Carlo se aplica para resolver ecuaciones diferenciales parciales que tienen condiciones de contorno abiertas, es decir, ecuaciones cuyo dominio de solucion es infinito. Aplicamos este método a la ecuación de Laplace y a la ecuación de difusion, las cuales modelan fenómenos estacionarios y fenómenos de evolución temporal respectivamente, que son de mucho interes en la física. Como un primer paso se comprueba la eficacia del metodo de Monte Carlo al comparar los resultados numéricos con las soluciones analíticas de problemas conocidos. El siguiente paso fue aplicar el metodo a problemas físicos mas complejos que no tienen solución analítica. Encontramos que en el caso de la ecuacion de difusion, el método de Monte Carlo se aplica directamente sobre el dominio infinito del problema, mientras que en los metodos numéricos más comunes se requiere acotar el dominio del problema.

The stochastic Monte Carlo method is applied to solve partial differential equations with open boundary conditions, i.e., equations that have solutions in an infinite domain. First, we test the effectiveness of the Monte Carlo method by comparing results with the analytical solutions of known problems. Next, we applied the method to more complex physical problems that have no analytical solution. We found that in the case of the diffusion equation, the Monte Carlo method is applied directly on the infinite domain of the problem, while in the most popular numerical methods a bound solution domain is required.

La propagación de la incerteza en sistemas mecánicos a través de modelos de cálculo fue analizado en este artículo por series de polinomios estocásticos de variables aleatorias estandarizadas llamados Polinomios de expansión de caos. Este artículo tuvo como objetivo simular la propagación de la incerteza en modelos mecánicos más complejos tales como estructuras visco elásticas el cual implica caracterización de parámetros dependientes del tiempo de materiales, interconversión de funciones matemáticas a través de transformada de Laplace, y resolución de la ecuación constitutiva mediante integrales de convolución. La aplicación de series de polinomios Hermite multidimensionales permitió la predicción de la aleatoriedad del vector de salida. En este trabajo se demostró que un polinomio de expansión de caos estima adecuadamente la propagación de la incerteza de las variables aleatorias. Los resultados mostraron que el parámetro material no solo afecta los coeficientes de variación del desplazamiento, sino también dicta el tipo y propagación de las colas de la función de densidad de probabilidad para la respuesta estructural.

The uncertainty propagation in mechanical systems through model calculations was analyzed in this article by stochastic polynomial series of standardized random variables called Polynomial Chaos Expansion. This paper aimed to simulate the propagation of uncertainty in more complex mechanical models such viscoelastic structures which involves time dependent parameters characterization of materials, interconversion of mathematical functions through Laplace transform, and resolution of the constitutive equation through convolution integrals. The application of multi-dimensional Hermite polynomials series allowed the prediction of the randomness of the output vector. In this work it was demonstrated that a polynomial chaos expansion accurately estimated the spread of uncertainty of the random variables. The results showed that the material parameters not only affects the coefficient of variation of the displacements, but also dictates the type and spread of the tails of the probability density function for the structural output.

La Estimulación Cerebral Profunda (DBS) es un tratamiento efectivo para la enfermedad de Parkinson. Gran variedad de modelos matemáticos y computacionales para describir la propagación eléctrica debido a la DBS han sido propuestos, desafortunadamente, no existe claridad sobre las razones que justifican el uso de un modelo específico. En el presente trabajo se presenta una formulación matemática detallada de la propagación eléctrica debido a DBS que soporta un modelo basado en la ecuación de Laplace. Se realizan simulaciones para diferentes modelos geométricos del cerebro para determinar si la geometría, el tamaño y la ubicación de la tierra del modelo afectan la predicción de la estimulación eléctrica mediante el uso del Método de Elementos Finitos (FEM). Los análisis teórico y experimental muestran en primera instancia que la ecuación de Laplace es adecuada para describir la propagación eléctrica en el cerebro, y en segunda instancia que la estructura geométrica, tamaño y ubicación de la tierra afectan la magnitud del potencial eléctrico, particularmente para modos de estimulación monopolar. Los resultados muestran que para modelos básicos y más realistas pueden existir diferencias en la propagación de hasta un 2900%.

Deep brain stimulation (DBS) is an effective treatment for Parkinson's disease. In the literature, there are a wide variety of mathematical and computational models to describe electric propagation during DBS; however unfortunately, there is no clarity about the reasons that justify the use of a specific model. In this work, we present a detailed mathematical formulation of the DBS electric propagation that supports the use of a model based on the Laplace Equation. Moreover, we performed DBS simulations for several geometrical models of the brain in order to determine whether geometry size, shape and ground location influence electric stimulation prediction by using the Finite Element Method (FEM). Theoretical and experimental analysis show, firstly, that under the correct assumptions, the Laplace equation is a suitable alternative to describe the electric propagation, and secondly, that geometrical structure, size and grounding of the head volume affect the magnitude of the electric potential, particularly for monopolar stimulation. Results show that, for monopolar stimulation, basic and more realistic models can differ more than 2900%.

Entre los métodos de solución numérica más comunes para ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se encuentran el método de las diferencias finitas y el método de los elementos finitos, que se acercan a la solución real a través de un algoritmo de convergencia de manera eficiente y acertada. Muchos de los fenómenos físicos que se pueden estudiar mediante estas técnicas obedecen su comportamiento a las EDP's de Laplace y de Poisson, sobre las que se pueden restringir diferentes condiciones iniciales y de frontera, para limitar las soluciones de la ecuación. Este trabajo muestra la aplicación del método de diferencias finitas con un manejo sencillo de la discretización del dominio y, así mismo, un manejo sencillo de las condiciones de frontera sobre varios dominios, principalmente sobre dominios del tipo anillo o "dona", mostrando resultados interesantes al seleccionar condiciones de frontera del tipo Dirichlet.

Among the more common numeric methods of solution for partial differential equations (PDE) we have the finite differences method and the finite elements method that approach the real solution through an effcient and accurate algorithm of convergence. Many of the physical phenomena that can be studied by means of these techniques obey their behavior to the EDP' s of Laplace and Poisson, on whom different initial and/or boundary conditions can be restricted, to limit the solutions of the equation. This work shows the application of the finite difference method with a simple handling of the domain discretization and a simple handling of the boundary conditions on several domains, mainly with the domain with shape of ring or "donut", showing interesting results when selecting border conditions of the Dirichlet kind.

In this article, Perturbation Method (PM) is employed to obtain an approximate solution for Troesch equation. In addition, we will describe the use of Laplace transform and Padé transformation to deal with the truncated series obtained by the PM method, in order to obtain handy approximations. Finally a table of comparison, between proposed solution, and other solutions reported in the literature: Adomian's Decomposition Method (ADM), Homotopy Perturbation Method (HPM), Homotopy Analysis Method (HAM) and exact numerical solution, shows that our solution is the most accurate one (Average Absolute Relative Error 1.705648354x10-8).

En este artículo el Método de Perturbación (PM) es empleado para obtener una solución aproximada para el problema de Troesch. Además describiremos el uso de la Transformada de Laplace y la Aproximación de Padé para trabajar con las series truncadas obtenidas por el Método de Perturbación, y así obtener soluciones aproximadas compactas. Finalmente se propone una tabla comparativa entre la solución propuesta y otras soluciones reportadas en la literatura: Método de Descomposición de Adomian, Método de Perturbación Homotópica, Método de Análisis Homotópico y la solución numérica exacta. Los resultados muestran que nuestra solución es la más exacta (Error Relativo Absoluto Promedio1.705648354x10-8).

La estimulación cerebral profunda (DBS) es una terapia quirúrgica validada para el tratamiento de los síntomas asociados con la enfermedad de Parkinson. Consiste en la implantación de un electrodo de estimulación generalmente en la región del núcleo subtalámico (STN), con el cual se excitan regiones específicas a partir de un potencial eléctrico con ciertos parámetros específicos. El ajuste de los parámetros de estimulación es un proceso realizado por parte del neurólogo y puede tardar varios meses hasta alcanzar los resultados deseados. Es por esto que en años recientes se ha estudiado la construcción de modelos de propagación eléctrica de las estructuras objetivo de la DBS con el fin de visualizar los posibles resultados de la distribución de campo eléctrico y la activación del tejido cerebral que sirven como guía para el ajuste de los parámetros de estimulación, optimizando el procedimiento de configuración. En este trabajo se presenta la comparación de modelos de simulación que incluyen la definición de geometrías complejas representando diferentes estructuras cerebrales con propiedades de diferentes tejidos, con los cuales se obtienen los patrones de propagación eléctrica cerebral por medio del método de elementos finitos (FEM) aplicado a la solución de las ecuaciones de Laplace y Poisson.

Deep Brain Stimulation (DBS) is a clinical treatment for Parkinson disease symptoms. DBS consists in the implantation of a stimulation electrode into the Subthalamic nucleus (STN) for the excitation of specific regions inside the STN. The stimulation potential has a few parameters that should be adjusted in order to achieve the desired treatment effect. The adjust is performed by the neurologist in several sessions with the patients and is not an exact procedure. In recent years there have been several works on the construction of propagation models of DBS, including head geometries and medium properties in order to visualize the possible effects of DBS while the stimulation parameters are adjusted. This work presents the construction of propagation models using the Finite Element Method (FEM) for the solution of Laplace or Poisson equations that govern the propagation phenomena. By the construction of these models, the shape and magnitude of the electric propagation inside the objective structures can be obtained.

In this paper we propose a fractional differential equation for the electrical RC and LC circuit in terms of the fractional time derivatives of the Caputo type. The order of the derivative being considered is 0 < γ ≤1. To keep the dimensionality of the physical parameters R, L, C the new parameter σ is introduced. This parameter characterizes the existence of fractional structures in the system. A relation between the fractional order time derivative γ and the new parameter σ is found. The numeric Laplace transform method was used for the simulation of the equations results. The results show that the fractional differential equations generalize the behavior of the charge, voltage and current depending of the values of γ. The classical cases are recovered by taking the limit when γ = 1. An analysis in the frequency domain of an RC circuit shows the application and use of fractional order differential equations.

En este trabajo se propone una ecuación diferencial fraccionaria para los circuitos RC y LC en términos de la derivada fraccionaria en el tiempo del tipo Caputo. El orden considerado de la derivada es 0 < γ ≤ 1. Para mantener la dimensionalidad física de los parámetros R, L, C, se introduce un nuevo parámetro σ. Este parámetro caracteriza la existencia de estructuras fraccionarias en el sistema. Se encuentra la relación entre el orden de la derivada fraccionaria γ y el nuevo parámetro σ. El método de la transformada numérica de Laplace fue usado para la simulación de las ecuaciones resultantes. Los resultados muestran que las ecuaciones diferenciales fraccionarias generalizan el comportamiento de la carga, voltaje y corriente dependiendo de la elección de γ. Los casos clásicos se recuperan en el límite cuando γ = 1. Un análisis en el dominio de la frecuencia de un circuito RC muestra la aplicación y uso de ecuaciones diferenciales de orden fraccionario.

Se presenta una nueva familia de discos gruesos newtonianos estables a partir del método de desplazamiento, corte, llenado y reflexión construidos en (González & Letelier, 2004; Vogt & Letelier, 2005). Soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas son consideradas, éstas representarán el campo gravitacional de objetos con momentos multipolares externos solamente. Se definen y calculan las cantidades físicas en el plano del disco, tales como, la frecuencia epicíclica, kapa, la frecuencia vertical, ny, y la velocidad circular, ípsilonc de las partículas. Además, se determina la densidad superficial de masa, sigma, la densidad del disco grueso, rho, y el criterio de estabilidad de los discos gruesos a través del momentum angular o el criterio de Rayleigh (Rayleigh, 1917; Landau, 1987). Finalmente, se representan las propiedades físicas para algunos parámetros considerando sólo hasta el término cuadrupolar en la expansión multipolar del potencial gravitacional.

We present a new family of stable thick discs from known displace, cut, fill and reflect method (González & Letelier, 2004; Vogt & Letelier, 2005) is presented. Solutions of the Laplace equation in cylindrical coordinates are considered, these one represent the gravitational field of objects with only external multipole moments. The physical quantities in the plane of the disk, are defined and calculated such as, the epicyclic frequency, kappa, the vertical frequency, nu, and the circular velocity, upsilonc of particles. The surface density, sigma, density of thick disk, rho, and stability of thick disks through of specific angular momentum or Rayleigh criterion (Rayleigh, 1917), and (Landau, 1987) were calculated. Finally, the physical properties are shown for only some parameters considering only until quadrupolar term in the expasion gravitational potential multipolar

A generating function for the spherical harmonics in three or more dimensions is given. This function allows us to find in a simple manner the explicit expressions for the spherical harmonics in three dimensions. The generating functions for the spherical harmonics given here are analogous to certain well-known generating functions for solutions of the wave equation.

Se da una función generatriz para los armónicos esféricos en tres o más dimensiones. Esta función permite hallar en una forma simple las expresiones explícitas para los armónicos esféricos en tres dimensiones. Las funciones generatrices para los armónicos esféricos dadas aquí son análogas a ciertas funciones generatrices bien conocidas para soluciones de la ecuación de onda.

Este artículo presenta la formulación y la implementación de la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de Green explícito (ExGA). El método utiliza la transformada de Laplace para obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia y, posteriormente, mediante transformada inversa, permite obtener, de forma explícita, la incógnita que soluciona la ecuación diferencial parcial. Se observa la versatilidad del método por la reducción de recursos computacionales para resolver problemas lineales de orden 2 y 1. Se llevan a cabo cuatro ejemplos numéricos para la ecuación de transferencia de calor y elasticidad. Los resultados muestran la exactitud y la precisión del método, el cual puede usar diferenciales de tiempo superiores a los utilizados en algoritmos de integración temporal clásicos con una respuesta cercana a un algoritmo de orden 2.

This work presents the formulation and implementation of the solution to partial differential equation systems through the Explicit Green Approach (ExGA). This method uses the Laplace Transform to obtain the solution in the frequency domain and, then, through inverse transform, it makes it possible to explicitly obtain the value that solves the partial differential equation. The versatility of this method in the reduction of computer resources for solving type 2 and 1 linear problems can be observed. Four numerical examples for the heat and elasticity transfer equation are offered. Results show the accuracy of this method, which can use time differentials which are higher to those used in classic time integration algorithms with a solution which is closer to an order algorithm.

Este artigo apresenta a formulação e a implementação da solução de sistemas de equações diferenciais parciais mediante o método de Green explícito (ExGA). O método utiliza a transformada de Laplace para obter a resposta no domínio da frequência e, posteriormente, mediante transformada inversa, permite obter, de forma explícita, a incógnita que soluciona a equação diferencial parcial. Observase a versatilidade do método pela redução de recursos computacionais para resolver problemas lineares de ordem 2 e 1. Foram realizados quatro exemplos numéricos para a equação de transferência de calor e elasticidade. Os resultados mostram a exatidão e a precisão do método, que pode usar diferenciais de tempo superiores aos utilizados em algoritmos de integração temporal clássicos com uma resposta próxima a um algoritmo de ordem 2.