Resumen. Sea (Pn)n≥0 la sucesión de Padovan dada mediante P0 = 0, P1 = P2 = 1 y la fórmula de recurrencia Pn+3 = Pn+1 + Pn se satisface para todo n≥0. En este artículo se resuelve completamente la ecuación Diofántica Pn = 6a ± 6b ± 6c en enteros no negativos (n, a, b, c) con a b≥c≥0.

Abstract. Let (Pn)n≥0 be the Padovan sequence given by P0 = 0, P1 = P2 = 1 and the recurrence formula Pn+3 = Pn+1 + Pn for all n≥0. In this note, we completely solve the Diophantine equation Pn = 6a ± 6b ± 6c in non-negative integers (n, a, b, c) with a≥b≥c≥0. MSC2020: 11D45,11D61, 11J86.

Resumen En este artículo presentamos una cota superior explícita para el valor absoluto de las soluciones con n < m < 0 de la ecuación Diofantina F (k) n = ±F (k) m , bajo la hipótesis que k es par. En la ecuación anterior {F (k) n } n ∈ Z denota la sucesión de Fibonacci k-generalizada. La cota superior sólo depende de k.

Abstract In this paper, we provide an explicit upper bound on the absolute value of the solutions n < m < 0 to the Diophantine equation F (k) n = ±F (k) m , assuming k is even. Here {F (k) n } n ∈ Z denotes the k-generalized Fibonacci sequence. The upper bound depends only on k.

RESUMEN. Sea (P n ) n≥0 la sucesión de Padovan dada mediante P 0 = 0, P 1 = P 2 = 1 y la fórmula de recurrencia P n+3 = P n+1 + P n para todo n ≥ 0. En esta nota estudiamos y resolvemos completamente la ecuación diofántica P n - 2 m = P n1 -2 m1 en enteros no negativos (n,m,n 1 ,m 1 ).

ABSTRACT. Let (P n ) n≥0 be the Padovan sequence given by P 0 = 0, P 1 = P 2 = 1 and the recurrence formula P n+3 = P n+1 + P n for all n ≥ 0. In this note we study and completely solve the Diophantine equation P n - 2 m = P n1 -2 m1 in non-negative integers (n,m,n 1 ,m 1 ).

La sucesión Tribonacci T := {Tn}n ≥0 tiene valores iniciales T0 = T1 = 0, T2 = 1 y cada término posterior es la suma de los tres términos precedentes. En este artículo, estudiamos la ecuación Tn = kTm, donde k es una S-unidad, para un conjunto finito S de primos. Particularmente, mostramos que cualquier par de miembros de la tripla diofántica {9, 56, 103} asociada a T + 1, no se puede extender a otra tripla diofántica asociada a T + 1

The Tribonacci sequence T := {Tn}n ≥0 has initial values T0 = T1 = 0, T2 = 1 and each term afterwards is the sum of the preceding three terms. In this paper, we study the equation Tn = kTm, where k is an S-unit, for a finite set S of primes. In particular, we show that any two members of the diophantine triple {9, 56, 103} associated to T + 1, can not be extended to other diophantine triple associated to T + 1

La sucesión k-generalizada de Fibonacci \big(Fn(k)\big)n se asemeja a la sucesión de Fibonacci, pues comienza con 0,…,0,1 (k términos) y a partir de ahí, cada término de la sucesión es la suma de los k precedentes. El interés en este artículo es encontrar potencias de dos que aparecen en sucesiones k-generalizadas de Fibonacci; es decir, se estudia la ecuación Diofántica Fn(k)=2m en enteros positivos n,k,m con k≥ 2.

The k-generalized Fibonacci sequence \big(Fn(k)\big)n resembles the Fibonacci sequence in that it starts with 0,…,0,1 (k terms) and each term afterwards is the sum of the k preceding terms. In this paper, we are interested in finding powers of two that appear in k-generalized Fibonacci sequences; i.e., we study the Diophantine equation Fn(k)=2m in positive integers n,k,m with k≥ 2.

En este trabajo, investigamos la aparición de las potencias perfectas en la primera componente de una solución no minimal de una ecuación de Pell. Damos una cota superior sobre la función de conteo del conjunto de los enteros positivos n tal que alguna potencia suya con exponente mayor que 1 es la primera componente de una solución no-minimal de una ecuación de Pell y presentamos una aplicación Diofántica.

In this paper, we study the appearance of perfect powers in the first component of a non-minimal solution of a Pell equation. We give an upper bound on the counting function of the positive integers n having the property that some power of it (of exponent larger than 1) is the first component of a non-minimal solution of a Pell equation, and we present a Diophantine application.

Nosotros hacemos una revisión acerca de resultados recientes sobre la ecuación Diofántica x2 + c = yn.

We give a survey on recent results on the Diophantine equation x² + c = y n.