Abstract The aim of this paper is to introduce new hyperbolic classes of functions, which will be called B∗α, log and F∗ log(p, q, s) classes. Furthermore, we introduce D-metrics space in the hyperbolic type classes B∗α, log and F∗ log(p, q, s). These classes are shown to be complete metric spaces with respect to the corresponding metrics. Moreover, necessary and sufficient conditions are given for the composition operator Cϕ to be bounded and compact from B∗α, log to F∗ log(p, q, s) spaces.

Resumen El objetivo de este artículo es introducir nuevas clases hiperbólicas de funciones, que serán llamadas clases B∗α, log y F∗ log (p, q, s). A continuación, introducimos D-espacios métricos en las clases de tipo hiperbólicas B∗α, log y F∗ log (p, q, s). Mostramos que estas clases son espacios métricos completos con respecto a las métricas correspondientes. Más aún, damos condiciones necesarias y suficientes para que el operador composición Cϕ sea acotado y compacto desde el espacio B∗α, log a F∗ log (p, q, s).

Resumen. En esta nota se anuncian los resultados de nuestra investigación sobre la traza de Dixmier y el residuo de Wodzicki para operadores pseudodiferenciales sobre variedades compactas. Se calcula la traza de Dixmier y el residuo no conmutativo (residuo de Wodzicki) de operadores pseudodiferenciales invariantes sobre variedades compactas con o sin borde. Para cada variedad cerrada (suave, compacta y sin borde), se emplea la noción de símbolo global que viene dada por el análisis de Fourier asociado a cada operador elíptico y positivo (desarrollado por M. Ruzhansky and V. Turunen para para grupos de Lie y por M. Ruzhansky, N. Tokmagambetov y J. Delgado para variedades cerradas). En particular, para cada grupo de Lie compacto, se usa su teoría de representación. Respecto al análisis de operadores sobre variedades con borde, se usa el análisis no armónico asociado a problemas con valores de frontera (introducido por M. Ruzhansky, N. Tokmagambetov, y J. Delgado).

Abstract. In this note, we announce the results of our investigation on the Dixmier trace and the Wodzicki residue for pseudo-differential operators on compact manifolds. We give formulae for the Dixmier trace and the non-commutative residue (also called Wodzicki’s residue) of invariant pseudo-differential operators on compact manifolds with or without boundary. For every closed manifold, the notion of global symbol for invariant pseudo-differential operators will be based on the Fourier analysis associated to every elliptic and positive operator (developed by M. Ruzhansky, V. Turunen and J. Delgado). In particular, for each compact Lie group we will use its representation theory. For the analysis of operators on compact manifolds with boundary, we will use the non-harmonic analysis associated with boundary valued problems (developed by M. Ruzhansky, N. Tokmagambetov, and J. Delgado). MSC2010: 81Q10, 47B10.

Resumen En esta investigación se caracteriza la r-nuclearidad de operadores integrales de Fourier en espacios de Lebesgue. Las nociones de traza nuclear y operador nuclear sobre espacios de Banach son conceptos análogos a aquellas de traza espectral y de operador de clase traza en espacios de Hilbert. Operadores integrales de Fourier, por otro lado, surgen para expresar soluciones a problemas de Cauchy hiperbólicos o para estudiar la función espectral asociada a un operador geométrico sobre una variedad diferenciable. Los operadores integrales de Fourier se consideran actuando sobre ℝn, el grupo discreto ℤn, el toro de dimensión n y finalmente, espacios simétricos (variedades compactas homogéneas). Se presentan ejemplos explícitos de tales caracterizaciones sobre ℤn, el grupo especial unitario SU(2), y el plano complejo proyectivo ℂℙ2. Los resultados principales de la presente investigación se aplican en la caracterización de operadores pseudo diferenciales nucleares definidos mediante el proceso de cuantificación de Weyl.

Abstract In this paper we characterise the r-nuclearity of Fourier integral operators on Lebesgue spaces. Fourier integral operators will be considered in ℝn, the discrete group ℤn, the n-dimensional torus and symmetric spaces (compact homogeneous manifolds). We also give formulae for the nuclear trace of these operators. Explicit examples will be given on ℤn, the torus 𝕋n, the special unitary group SU(2), and the projective complex plane ℂℙ2. Our main theorems will be applied to the characterization of r-nuclear pseudo-differential operators defined by the Weyl quantization procedure. MSC2010: 58J40; 47B10, 47G30, 35S30.

Abstract We present a new criterion, based on commutator methods, for the strong mixing property of unitary representations of topological groups equipped with a proper length function. Our result generalises and unifies recent results on the strong mixing property of discrete flows {Uᴺ}N∈ℤ and continuous flows {e-itH}t∈ℝ induced by unitary operators U and self-adjoint operators H in a Hilbert space. As an application, we present a short alternative proof (not using convolutions) of the strong mixing property of the left regular representation of σ-compact locally compact groups.

Resumen Presentamos un nuevo criterio, basado en métodos de conmutadores, para la propiedad de mezcla fuerte de representaciones unitarias de grupos topológicos dotados de una función de longitud propia. Nuestro resultado generaliza y unifica resultados recientes acerca de la propiedad de mezcla fuerte de flujos discretos {Uᴺ}N∈ℤ y flujos continuos {e-itH}t∈ℝ inducidos por operadores unitarios U y operadores auto adjuntos H en un espacio de Hilbert. Como aplicación, presentamos una demostración corta alternativa (sin usar convoluciones) de la propiedad de mezcla fuerte de la representación regular de grupos localmente compactos σ-compactos.

Neste artigo apresentamos a Teoria das C *-Álgebras. Demonstramos dois importantes resultados que são: o Teorema de Gelfand, que associa toda C *-Álgebra Abeliana às funções contínuas sobre um espaço Hausdorff compacto, e o Teorema de Gelfand-Neumark, que relaciona toda C *-Álgebra não Abeliana aos operadores lineares sobre um espaço de Hilbert. Em seguida, mapeamos a Mecânica Clássica dentro da teoria da C *-Álgebra, obtendo uma prescrição algébrica para os estados e às observáveis clássicas. Ao estendermos essa construção para o caso Quântico, preservando a prescrição algébrica e utilizando o Princípio da Incerteza, obtemos que os estados quânticos devem ser descritos por vetores do Espaço de Hilbert enquanto que os observáveis quânticos são os operadores auto-adjuntos sobre este espaço; discutimos brevemente sobre a Álgebra de Weyl.

In this paper we present the theory of C *-Algebras. We show two major results that are Gelfand's Theorem, which associates every Abelian C *-Algebra as continuous functions on a compact Hausdorff space, and the Gelfand-Neumark Theorem, which relates all non-Abelian C *-Algebra to linear operators on a Hilbert space. Then we map the Classical Mechanics into the C *-Algebra's theory, obtaining an algebraic prescription for classical states and observables. When we extend this construction to the Quantum case, preserving the algebraic prescriptions and using the Uncertainty Principle, we obtain that quantum states must be described by vectors in a Hilbert space while quantum observables are the self-adjoint operators on this space; we briefly discussed the Weyl's Algebra.

Sea G un grupo de Lie compacto y conexo y PU(H) el grupo de operadores proyectivos e unitarios en un espacio de Hilbert separable e infinito dimensional H, provisto de la topología fuerte de operadores. Estudiamos el espacio homst(G, PU(H)) de homomorfismos continuos desde G a PU(H) que son estables, es decir homomorfismos cuyas representaciones inducidas contienen cada representación irreducible un número infinito de veces. Demostramos que las componentes conexas del espacio homst(G, PU(H)) están parametrizadas por las clases de isomorfía de extensiones centrales de G por el grupo S¹, y que cada componente conexa tiene por grupo fundamental al grupo hom(G, S¹) y sus grupos de homotopía superiores son triviales. Estudiamos la aplicación conjugación PU(H) → homst(G, PU(H)), F → F<FONT FACE=Symbol>a</font>F-1, demostramos que no tiene secciones locales y demostramos que para cualquier aplicación continua B → homst(G, PU(H)) con B paracompacto de dimensión paracompacta finita, los levantamientos locales a PU(H) sí existen.

Let G be a compact and connected Lie group and PU(H) be the group of projective unitary operators on an infinite dimensional separable Hilbert space H endowed with the strong operator topology. We study the space homst(G, PU(H)) of continuous homomorphisms from G to PU(H) which are stable, namely the homomorphisms whose induced representation contains each irreducible representation an infinitely number of times. We show that the connected components of homst(G, PU(H)) are parametrized by the isomorphism classes of S¹-central extensions of G, and that each connected component has the group hom(G, S¹) for fundamental group and trivial higher homotopy groups. We study the conjugation map PU(H) → homst(G, PU(H)), F → F<FONT FACE=Symbol>a</font>F-1, we show that it has no local cross sections and we prove that for a map B → homst(G, PU(H)) with B paracompact of finite paracompact dimension, local lifts to PU(H) do exist.

En este trabajo se establecen estimativos L² para operadores pseudodiferenciales definidos en el toro. Los operadores considerados surgen del estudio de operadores entre grupos abelianos localmente compactos

In this work we establish L² estimates from pseudo-differential operators defined on the torus. Such operators arise from the study of operators on locally compact abelian groups.

In this paper we introduce natural metrics in the hyperbolic α-Bloch and hyperbolic general Besov-type classes F*(p, q, s). These classes are shown to be complete metric spaces with respect to the corresponding metrics. Moreover, compact composition operators <img src="http:/fbpe/img/cubo/v15n3/art03-fig5.jpg" name="_x0000_i1038" width=26 height=24 border=0 id="_x0000_i1038">acting from the hyperbolic α-Bloch class to the class F*(p, q, s) are characterized by conditions depending on an analytic self-map <img src="http:/fbpe/img/cubo/v15n3/art03-fig6.jpg" name="_x0000_i1037" width=18 height=26 border=0 id="_x0000_i1037">: D<img src="http:/fbpe/img/cubo/v15n3/art03-fig1.jpg" name="_x0000_i1036" width=25 height=16 border=0 id="_x0000_i1036"> D.

En este artículo introducimos una métrica natural en las clases hiperbólicas α-Bloch y tipo Besov generales. Estas clases se muestra que son espacios métricos completos respecto de las métricas correspondientes. Además se caracterizan los operadores de composición compactos <img src="http:/fbpe/img/cubo/v15n3/art03-fig5.jpg" name="_x0000_i1035" width=26 height=24 border=0 id="_x0000_i1035">que actúan desde las clases hiperbólicas α-Bloch en la clase F*(p, q, s) por condiciones que dependen de la autoaplicación analítica <img src="http:/fbpe/img/cubo/v15n3/art03-fig6.jpg" name="_x0000_i1034" width=18 height=26 border=0 id="_x0000_i1034">: D<img src="http:/fbpe/img/cubo/v15n3/art03-fig1.jpg" name="_x0000_i1033" width=25 height=16 border=0 id="_x0000_i1033"> D.

In this paper we characterize continuity and compactness of composition operators Cø; mapping the á-Bloch space into the μ-Bloch space, where μ is a weight defined on the unit disk D, in term of certain expression that involve the n-power of the symbol ø.

We give a characterization in terms of the transpose operator for a continuous linear operator between locally convex spaces to map bounded sets into relatively weakly compact [relatively compact, precompact] sets. Our results give a known characterization for compact operators between Banach spaces.

We present some results on the spectral geometry of compact Riemannian manifolds having holonomy group isomorphic to <img width=19 height=19 src="/img/revistas/ruma/v47n1/1a131x.png">, <img width=108 height=15 src="/img/revistas/ruma/v47n1/1a132x.png">, for the Laplacian on mixed forms and for twisted Dirac operators.