Abstract The teaching and learning of complex numbers in mathematics education have been relatively underexplored. Research indicates that the teaching of these numbers is commonly approached from an algebraic perspective. To contribute to the understanding of complex numbers, this paper presents a characterization of the conceptions held by a group of undergraduate students using the APOS theory. A test was designed and administered to observe their possible mental structures. The results suggest that students have limited elements and conceptions related to the actions involved, primarily concerning the binomial representation of complex numbers within an algebraic register. Additionally, students commence their college studies with fundamental preexisting conceptions related to complex numbers, but these conceptions are not yet integrated with the concept itself. underexplored perspective theory structures involved register Additionally itself

Resumen La enseñanza y el aprendizaje de los números complejos desde la educación matemática se han indagado poco, y las investigaciones que hay al respecto señalan que su tratamiento se hace, comúnmente, desde el registro algebraico. Con la intención de contribuir al estudio de la problemática que se relaciona con ese concepto, en este estudio se realizó desde la teoría APOE una caracterización de las concepciones que han construido sobre los números complejos un grupo de alumnos que inician sus estudios universitarios. Para ello, se diseñó y aplicó un cuestionario que permitió observar las posibles estructuras mentales construidas por los estudiantes. Los resultados indican que los alumnos llegan a la universidad con elementos de las acciones y concepciones acción, pero limitadas, relacionadas principalmente con la representación binómica de los números complejos y en un registro algebraico; asimismo, muestran concepciones previas fundamentales para el estudio de los números complejos, pero desconectadas de ese concepto. poco hace comúnmente algebraico concepto universitarios ello estudiantes acción limitadas asimismo

ABSTRACT The presented article discusses the Stirling numbers of the first kind, which is a special case of the study of polynomials on various indeterminates over the integers ring and has relations between the coefficients and the respective roots of a given algebraic equation. The idea consists of an expansion of a class of polynomials on the indeterminates x, x 1 , x 2 ,··· , x n ∈ ℤ, defined by p n ( x ) = ∏ j = 1 n ( x - x j ), given a fixed positive integer n. The idea is even more special, because it comes from the Vieta’s formula of the study of homogeneous and symmetric polynomials, which consists of studying the polynomials in ��(x), where the coefficients are on the ring �� = ℤ(x 1 , x 2 , · · · , x n ), moreover the particular integer roots in Vieta’s formula, discussed here, are x 1 = 0, x 2 = −1,··· , x n = −(n − 1) making interesting algebraic identities whose combinatorial nature is evident and the coefficients of the powers of x in p n (x), in this case, can be the answer to various counting problems modeled after this generating function, more specifically, the sequence associated to p n (x) generates the Stirling numbers of the first kind. kind equation ,·· ℤ Vietas Vieta s ��x, ��(x) � ℤx here 0 −1,·· −n function specifically (x ,· ��x ��(x −1,· −1, −1

RESUMO O presente artigo trata-se do polinômio de Stirling do primeiro tipo, que é um caso particular do estudo de polinômios em várias indeterminadas sobre o anel dos inteiros e existem relações entre os coeficientes e as respectivas ráızes de uma dada equação algébrica. A ideia consiste na expansão de uma classe de polinômios nas indeterminadas x, x 1 , x 2 ,··· , x n ∈ ℤ, definidos por p n ( x ) = ∏ j = 1 n ( x - x j ), fixado um inteiro n positivo. A ideia é mais particular ainda, pois provém das relações de Girard do estudo de polinômios homogêneos e simétricos que consiste em estudar polinômios em ��(x), cujos coeficientes estão no anel �� = ℤ(x 1 , x 2 , · · · , x n ) e além disso as raízes inteiras particulares nas relações de Girard, em questão, são x 1 = 0, x 2 = −1,··· , x n = −(n− 1) gerando interessantes identidades algébricas cuja natureza combinatória é evidente e o coeficiente das potências de x em p n (x), nesse caso, pode ser resposta de diversos problemas de contagem modelado por meio dessa função geradora, mais especificamente, a sequência associada a p n (x) geram os números de Stirling do primeiro tipo. tratase trata se tipo algébrica ,·· ℤ positivo ainda ��x, ��(x) � ℤx questão 0 −1,·· −n− − n− −(n geradora especificamente (x ,· ��x ��(x −1,· −n −1, −1

This article presents a proposal for a teaching activity whose main objective is to address the concept of number with a view to the development of algebraic thinking in the early years of elementary school, from the theoretical perspective of the Historical-Cultural Theory and the Guiding Activity of Teaching. The teaching activity reported in this work was developed based on the children's literature “And the tooth still hurting” by Ana Terra and the didactic material known as the “Cuisenaire scale”. The proposal refers to the concept of number and the development of algebraic thinking, the teaching actions exposed can be explored as students of the 1st and 2nd year of elementary school. It is intended to dialogue about the teaching of algebra in the early years of elementary school and elucidate issues related to the development of algebraic thinking in this stage of schooling. It is concluded that for learning to occur, it must have meaning for the student, being suitable for those who are intended to be taught. Thus the development of algebraic thinking becomes possible, from the early years of elementary school, as long as it is properly organized.

Este artículo presenta una propuesta de actividad docente cuyo objetivo principal es abordar el concepto de número con vistas al desarrollo del pensamiento algebraico en los primeros años de la escuela primaria, desde la perspectiva teórica de la Teoría Histórico-Cultural y la Actividad Rectora. de la Enseñanza. La actividad docente relatada en este trabajo se desarrolló a partir de la literatura infantil “Y todavía me duele el diente” de Ana Terra y el material didáctico conocido como “Escala de Cuisenaire”. La propuesta hace referencia al concepto de número y al desarrollo del pensamiento algebraico, las acciones docentes expuestas pueden ser exploradas como alumnos de 1º y 2º año de primaria. Se pretende dialogar sobre la enseñanza del álgebra en los primeros años de la escuela primaria y aclarar temas relacionados con el desarrollo del pensamiento algebraico en esta etapa de la escolarización. Se concluye que para que se produzca el aprendizaje, éste debe tener significado para el alumno, siendo adecuado para aquellos que se pretende enseñar. Así, el desarrollo del pensamiento algebraico se hace posible, desde los primeros años de la escuela primaria, siempre que esté debidamente organizado.

No presente artigo apresenta-se uma proposta de atividade de ensino cujo objetivo principal é abordar o conceito de número com vistas ao desenvolvimento do pensamento algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental, a partir da perspectiva teórica da Teoria Histórico-Cultural e da Atividade Orientadora de Ensino. A atividade de ensino relatada neste trabalho foi desenvolvida a partir da literatura infantil “E o dente ainda doía” de Ana Terra e o material didático conhecido como “escala Cuisenaire”. A proposta refere-se ao conceito de número e o desenvolvimento do pensamento algébrico. As ações de ensino expostas podem ser exploradas com os alunos do 1° e 2° ano do Ensino Fundamental. Intenta-se dialogar sobre o ensino de álgebra nos anos iniciais e elucidar questões referentes ao desenvolvimento do pensamento algébrico nesta etapa de escolarização. Conclui-se que para a aprendizagem ocorrer, esta deve ter significado para o aluno, sendo adequada àqueles a quem se pretende ensinar. Assim o desenvolvimento do pensamento algébrico se torna possível, desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, desde que organizado de forma apropriada.

ABSTRACT In the introduction of the Complex Analysis programs of the Higher Institute of Education Sciences in the Republic of Angola, the issue of Complex Numbers is taught, which as a tendency presents two difficulties for the students' learning, for a Besides, the little relation established in the class between the algebraic calculation and the graphical representation of the results and, on the other hand, the difficulties in the calculation of Conformal Transformations. In this work the authors propose to develop and apply the possibilities offered by Geogebra as an alternative solution to the problems posed.

RESUMEN En la introducción de los programas de Análisis Complejo del Instituto Superior de Ciencias de la Educación en la República de Angola se imparte el tema Números Complejos, que como tendencia presentan dos dificultades para el aprendizaje de los alumnos, por un lado, la poca relación que se establece en la clase entre el cálculo algebraico y la representación gráfica de los resultados y por otro, las dificultades en el cálculo de transformaciones conformes. En este trabajo los autores proponen desarrollar y aplicar las posibilidades que ofrece GeoGebra como alternativa de solución a los problemas planteados.

RESUMO A definição clássica de números binomiais envolve fatoriais, tornando inviável sua extensão para inteiros negativos. A metodologia empregada neste artigo permite estabelecer diversas novas extensões de números binomiais para domínios inteiros, reproduz para argumentos inteiros extensões propostas em outros trabalhos e verifica, também, os resultados dos números binomiais clássicos. Para isto, a impossibilidade de computar fatoriais com argumentos inteiros negativos é eliminada pela substituição da definição clássica dos binomiais por uma nova definição com base em operações recentemente propostas e, até o momento, referidas como transformações pela soma sucessiva aplicada em sequências indexadas por inteiros. Particularizando tais operações para sequências inteiras formadas pelos próprios números inteiros, é possível redefinir os números binomiais usuais para qualquer argumento inteiro, com a vantagem de que os valores são mais facilmente computados pelo uso de adições em vez de multiplicações, divisões ou outras combinações mais elaboradas dessas operações, que poderiam requerer mais do que uma ou duas sentenças em suas aplicações.

ABSTRACT The classic definition of binomial numbers involves factorials, making unfeasible their extension for negative integers. The methodology applied in this paper allows to establish several new binomial numbers extensions for the integer domain, reproduces to integer arguments those extensions that are proposed in other works, and also verifies the results of the usual binomial numbers. To do this, the impossibility to compute factorials with negative integer arguments is eliminated by the replacement of the classic binomial definition to a new one, based on operations recently proposed and, until now, referred to as transformations by the successive sum applied on sequences indexed by integers. By particularizing these operations for the sequences formed and indexed by integers, it is possible to redefine the usual binomial numbers to any integer arguments, with the advantage that the values are more easily computed by using successive additions instead of multiplications, divisions or possibly more elaborate combinations of these operators, which could demand more than one or two sentences to their application.

Resumo Em vários países, têm sido recorrentes relatos de dificuldades de entendimento de conceitos algébricos. A solução para este problema, proposta por grande parte da comunidade de educadores matemáticos pelo mundo, foi promover a introdução de conceitos algébricos desde os primeiros anos escolares. O objetivo deste trabalho foi descrever e analisar os invariantes operatórios utilizados por estudantes do terceiro ano do Ensino Fundamental em situações que envolvem a noção de equilíbrio algébrico. A metodologia de produção e análise de dados utilizada foi o método clínico de manipulação-formalização. Os sujeitos da pesquisa foram 24 estudantes do terceiro ano do Ensino Fundamental, os quais foram submetidos a uma atividade envolvendo quatro pesos e duas balanças. Os participantes deveriam equilibrar os pesos dois-a-dois, sem saber a medida de um dos pesos, que representava a incógnita do problema algébrico proposto. Foram realizadas entrevistas clínicas com todos os participantes para investigar os invariantes operatórios utilizados por eles na resolução do problema. O referencial teórico da pesquisa é a teoria dos campos conceituais. Constatou-se a possibilidade de uso de quatro invariantes operatórios: os teoremas-em-ação “completar a quantidade que falta” e “encontrar a incógnita a partir do equilíbrio”; e os respectivos conceitos-em-ação “sequência sem números que se repetem” e “equilíbrio dos pesos na balança”.O conhecimento de como a criança desenvolve a noção inicial de equilíbrio algébrico, que é o princípio do processo de entendimento do conceito formal de equação, pode ajudar professores dos Anos Iniciais a criar atividades que estimulem o desenvolvimento desta habilidade algébrica.

Abstract In several countries, there have been recurrent reports of difficulties in understanding of algebraic concepts. The solution to this problem, proposed by much of the mathematical educators' community around the world, was to promote the introduction of algebraic concepts since the early school years. The aim of this work was to describe and analyze the operational invariants used by third grade students elementary school in situations involving the notion of algebraic balance. The methodology of data production and data analysis used was the handling-formalization clinical method. The subjects were 24 third grade students of elementary school, which were submitted to an activity involving four weights and two scales. The participants should balance the weights twoby-two, without knowing the extent of one of the unknown weights the algebraic problem. Clinical interviews were held with all participants to investigate the operational invariants used by them to solve the problem. The theoretical research framework is the theory of conceptual fields. It was noted the possibility of using four operational invariants: the theorems-in-action "complete the missing amount" and "find the unknown from the balance"; and related concepts-in-action "sequence without numbers that repeat" and "balance weights on the scale". The knowledge of how the child develops the initial algebraic balance notion, which is the beginning of the process of understanding the formal equation concept, can help early years teachers to create activities that stimulate the development of this algebraic ability.

ABSTRACT In the introduction of the Analytical Functions programs of the Higher Institute of Education Sciences in the Republic of Angola, the issue of Complex Numbers is taught, which as a tendency presents two difficulties for the students' learning, in one hand, the little relation established in the class between the algebraic calculation and the graphical representation of the results and, on the other hand, the difficulties in the calculation of powers and roots of complex numbers through the use of the trigonometric form. In this work the authors propose to develop and apply the possibilities offered by Geogebra as an alternative solution to the posed problems.

RESUMEN En la introducción de los programas de Funciones Analíticas del Instituto Superior de Ciencias de la Educación en la República de Angola se imparte el tema Números Complejos, que como tendencia presentan dos dificultades para el aprendizaje de los alumnos, por un lado la poca relación que se establece en la clase entre el cálculo algebraico y la representación gráfica de los resultados y por otro, la dificultades en el cálculo de potencias y raíces de números complejos mediante el empleo de la forma trigonométrica. En este trabajo los autores proponen desarrollar y aplicar las posibilidades que ofrece Geogebra como alternativa de solución a los problemas planteados.

Abstract In this paper we introduce the sequence spaces c0i(∆) ,ci(∆) and li ∞(∆) of interval numbers and study some of their algebraic and topological properties. Also we investigate some inclusion relations related to these spaces.

Abstract In this article we introduce the notation difference operator ∆m (m ≥ 0 be an integer) for studying some properties defined with interval numbers. We introduced the classes of sequence (∆m), (∆m) and (∆m) and investigate different algebraic properties like completeness, solidness, convergence free etc.

Resumen En este trabajo se presentan la descripción, y los resultados de la implementación de una secuencia didáctica orientada a favorecer la habilidad de efectuar conversiones de representaciones de curvas y regiones del plano complejo, desde el registro gráfico al registro algebraico. Se detallan las variables de conversión que regulan los niveles de complejidad en estas actividades cognitivas, que determinaron la estructura de la secuencia didáctica presentada. Esta fue implementada con un grupo de estudiantes de la asignatura Álgebra de primer año de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina. Se evaluó el impacto de la intervención didáctica realizada y se obtuvieron resultados satisfactorios, no solo sobre las conversiones a las que buscó específicamente contribuir, sino también en prácticas matemáticas que requieren otras actividades semióticas vinculadas a representaciones de números complejos en los dos registros considerados.

Resumo Neste trabalho é apresentada a descrição e os resultados da implementação de uma sequência didática orientada a favorecer a habilidade de efetuar conversões de representações de curvas e regiões do plano complexo, desde o registro gráfico ao registro algébrico. Detalham-se as variáveis de conversão que regulamentam os níveis de complexidade nestas atividades cognitivas, que determinaram a estrutura da sequência didática apresentada. Esta foi implementada com um grupo de estudantes da matéria de Álgebra do primeiro ano da Faculdade de Engenharia da Universidade Nacional de Mar del Plata, Argentina. Avaliou-se o impacto da intervenção didática realizada e obtiveram resultados satisfatórios, não só sobre as conversões para as quais buscou contribuir de maneira específica, mas também em práticas matemáticas que requerem outras atividades semióticas vinculadas a representações de números complexos nos dois registros considerados.

Abstract In this paper, a didactic sequence and the results of its implementation are described. The sequence is oriented to improve the skill to carry out conversions of representations of curves and regions of the complex plane, from the graphic register to the algebraic register. Conversion variables are presented in detail. These variables regulate the levels of complexity in these cognitive activities and determine the structure of the didactic sequence presented. This sequence was implemented with a group of students of first course of Algebra at the Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata (Faculty of Engineering, National University of Mar del Plata), Argentina. The impact of the didactic intervention was evaluated, and satisfactory results were obtained, not only on the conversions to which it specifically sought to contribute, but also on mathematical practices that require other semiotic activities related to representations of complex numbers in the two registries considered.

RESUME Nous présentons les antécédents d’un modèle cognitif pour l’apprentissage de l’espace vectorielR 2 et sa validation. En tant que contribution, il faut remarquer le rôle joué par l’association d’une paire de nombres réels à une équation linéaire homogène (avec deux inconnues) pour induire une solution algébrique à son ensemble solution. Nous présentons aussi d’une part, des évidences sur l’utilisation d’un paramètre, comme un facteur important, qui souligne la pondération d’une solution par un nombre réel en tant qu’opération associée à l’ensemble de la solution d’une équation linéaire homogène, pour écrire une solution d’une équation linéaire homogène. Ces résultats ont une étroite relation avec la construction de l’espace vectoriel R 2.

RESUMO Apresentamos antecedentes sobre a validação dum modelo cognitivo para a aprendizagem do espaço vetorial R 2. Destacamos o papel que desempenha a associação dum par de números reais com uma equação lineal homogénea (de duas incógnitas) para induzir estrutura algébrica a seu conjunto solução. Ademais amostramos evidencia de como o uso dum parâmetro para escrever uma solução duma equação lineal homogénea, é um fator importante que destaca a ponderação duma solução por um escalar como uma operação que se associa ao conjunto solução duma equação lineal homogénea. Tudo o anterior em estreita relação com a construção do espaço vetorial R 2.

ABSTRACT We present background information on the validation of a cognitive model for the learning of the vector space R 2. As a result, we highlight the role played by the association of a pair of real numbers to a homogeneous linear equation (with two unknowns) to induce an algebraic structure to the solution set. Furthermore, we present evidence of how the use of a parameter to write a solution of a homogeneous linear equation, is an important factor that highlights the product of a solution by a scalar as an operation that is associated with the solution set of a homogeneous linear equation. All of this has a close connection with the construction of the vector space R 2.

RESUMEN Presentamos antecedentes sobre la validación de un modelo cognitivo para el aprendizaje del espacio vectorial R 2. Como hallazgo, destacamos el papel que desempeña asociar un par de números reales a una ecuación lineal homogénea (de dos incógnitas) para inducir estructura algebraica a su conjunto solución. Además, se entrega evidencia de cómo el uso de un parámetro, para escribir una solución de una ecuación lineal homogénea, es un factor importante que pone de relieve a la ponderación de una solución por un escalar como una operación que se asocia al conjunto solución de una ecuación lineal homogénea. Todo lo anterior en estrecha relación con la construcción del espacio vectorial R 2.

Abstract The existence of an explicit and canonical cell decomposition of the moduli space of closed Riemann surfaces of genus two shows that each Riemann surface of genus two can be parametrised by a 12-tuple of real numbers which corresponds to the angle coordinates of a graph associated to the surface. This suggests a Circle Pattern Uniformization Problem that we have defined and solved for three classical Riemann surfaces of genus two. Although in general, finding the exact algebraic equations corresponding to a hyperbolic surface from angle coordinates is a hard problem, we prove that known numerical methods can be applied to find approximated equations of Riemann surfaces of genus two from their angle coordinates and graph data for a large family of Riemann surfaces of genus two.

Abstract: In this article we introduce and study some spaces of I-convergent sequences of interval numbers with the help of a sequence of moduli, a bounded sequence of positive real numbers and a lacunary sequence of increasing integers. We study some topological and algebraic properties and some inclusion relations on these spaces.

Resumo: Neste artigo objetiva-se compreender e analisar como estudantes dos Anos Iniciais da Educação Básica, em atividade de Modelagem, resolvem situações-problema que podem requerer domínio algébrico simbólico e que linguagens fazem uso na expressão dos modelos. Os dados empíricos advieram de uma das práticas de Modelagem desenvolvidas com 16 estudantes de escola pública durante 11 horas/aula, no período de junho e julho/2015 e foram obtidos dos materiais produzidos pelos estudantes, gravações de áudio e vídeo e observação realizada durante a prática sobre a numeração do calçado de uma pessoa. No processo os estudantes propuseram modelo estabelecendo relações numéricas entre as variáveis, obtendo generalização e realizando previsões. A análise evidenciou que eles resolvem situação-problema apresentando modelos nas linguagens natural, numérica e tabular, evidenciando domínio algébrico característico do pensamento algébrico anterior à linguagem simbólica, pertinente ao nível de escolaridade, e extrapolam objetivos referentes a realização de previsão a partir do modelo.

Abstract: This article aims to understand and analyze how elementary students solve problems through modeling, which may require symbolic algebra and languages to use the model's expression. The empirical data have been constructed through one of the modeling practices developed with 16 public school students for 11 hours / class, between June and July / 2015. It were obtained from materials produced by students, audio and video recordings and observation during practice on the numbers of a person's shoes. In the modeling process, the students proposed model establishing numerical relationships between variables, obtaining generalizations and making forecasts. The analysis showed that they solve the problem situation by presenting models in natural languages, in numerical and tabular formats demonstrating characteristic algebra from previous algebraic thought to the symbolic language, appropriate to the educational level, and go beyond the objectives regarding the completion of the forecast from model.

Abstract: The presence of the number theory in mathematical academic curriculum is predominantly focused on discussion and validating of strategies for simplifying calculations with numbers. Beyond this pragmatic aspect, there is another rich opportunity to work with the number theory in direct connection with the fundamentals of mathematical thinking. In this article, I present definitions and some properties of happy and polite numbers, which can be a rich material to work with the arithmetic and algebraic aspects of number theory in a classroom with upper secondary students.

Resumen: La presencia de la teoría de los números en los currículos escolares de Matemáticas está predominantemente enfocada en la discusión y validación de estrategias para la simplificación de cálculos con números. Más allá de ese aspecto pragmático, hay otra rica posibilidad de trabajo con la teoría de los números en conexión directa con los fundamentos del pensamiento matemático. En este artículo presento definiciones y algunas propiedades de los números felices y educados, que consiste en rico material para trabajar aspectos aritméticos y algébricos de la teoría de los números en el aula con estudiantes de nivel secundario.