Neste artigo utilizou–se um campo magnético da forma ℬ → = ℬ 1 [ cos ( ω t ) i ^ + sin ( ω t ) j ^ ] + ℬ 0 k ^ como ordem zero de uma expansão, advinda de um campo magnético parabólico, para descrever o movimento confinado de uma partícula eletricamente carregada sujeita a uma força de Lorentz, com uma dinâmica válida para uma região específica do espaço. As equações de movimento obtidas são não-lineares e uma solução particular pode ser extraída, na qual a partícula realiza um movimento periódico. Além disso, através das seções de Poincaré e expoentes de Lyapunov, constatamos que o sistema é caótico, e, portanto, admite deferentes forma de trajetórias quase fechadas obtidas variando–se levemente os parâmetros e condições iniciais, a partir de uma solução numérica.

In this paper we used a magnetic field of the form ℬ → = ℬ 1 [ cos ( ω t ) i ^ + sin ( ω t ) j ^ ] + ℬ 0 k ^ as the zero order of an expansion, arising from a parabolic magnetic field, to describe the confined motion of an electrically charged particle subjected to a Lorentz force, with a dynamics valid for a specific region of space. The equations of motion obtained are nonlinear and a particular solution can be extracted, in which the particle performs a periodic motion. Moreover, through Poincaré sections and Lyapunov exponents, we find that the system is chaotic, and therefore admits different forms of quasi closed trajectories obtained by varying slightly the parameters and initial conditions, from a numerical solution.

Este artigo buscou trazer uma analise das regiões de confinamento descritas por uma partícula carregada submetida ao campo magnético de um dipolo. Foram obtidas e analisadas as equações de movimento, de onde foi possível demonstrar que a energia mecânica do sistema é constante. As trajetórias confinadas obtidas são descritas pela partícula ao redor do eixo z e mantendo uma determinada distância mínima Δr > 0 da origem (onde se situa a fonte), a qual é menor quanto menores forem os valores das condições iniciais no plano xy, com o limite de que esse valores devem ser maiores que as dimensões da fonte. Além disso, foi realizado uma analise do sistema no caso particular z(t) = 0, no qual constatou-se a nâo existência de caos pelo teorema de Arnold-Lioiville e torna-se caótico quando o momento de dipolo é recalibrado com dependência temporal oscilante, e z(t) geral, no qual verificou-se caos e um comportamento transiente dos expoentes máximos de Lyapunov em função do número de passos do cálculo numérico. Os confinamentos tratados neste trabalho podem representar aproximações para fenômenos que acontecem na atmosfera do planeta Terra.

This paper aimed to make an analysis of the confinement regions described by a charged particle subjected to the magnetic field of a dipole. The equations of motion were obtained and analyzed, from which it was possible to demonstrate that the mechanical energy of the system is constant. The obtained confined trajectories are described by the particle around the z axis and maintaining a certain minimum distance Δr > 0 from the origin (where the source is located), which is smaller the smaller the values of the initial conditions in the xy plane, with the limit that these values must be larger than the dimensions of the source. Moreover, an analysis of the system was performed in the particular case z(t) = 0, in which the non-existence of chaos was verified by the Arnold- Lioiville theorem and becomes chaotic when the dipole moment is recalibrated with oscillating time dependence, and general z(t), in which chaos and a transient behavior of the maximum Lyapunov exponents as a function of the number of steps of the numerical calculation was verified. The confinements treated in this paper represent possible approximations for phenomena that happen in the atmosphere of planet Earth.

Desde que James Clerck Maxwell publicou seu brilhante trabalho unificando a eletricidade e magnetismo surgiram, a partir de então, inúmeras aplicações práticas do mesmo. Este artigo discute o potencial elétrico bidimensional e tridimensional, obtidos a partir da solução da equação de Laplace, assim como a solução para os campos elétrico e magnético para a equação de Helmholtz com condições iniciais específicas. Explicitamos a utilização do teorema de superposição em um exemplo claro de eletrostática. Em particular, foi estudado o problema do potencial elétrico em uma caixa retangular com condições de contorno de Dirichlet, fazendo uma aplicação em guias de onda e cavidades ressonantes. O software Mathematica foi usado para obter os gráficos do potencial e campo elétrico.

Ever since James Clerck Maxwell published his brilliant work unifying electricity and magnetism, numerous practical applications of it have arisen. This paper discusses the two- and three-dimensional electric potentials obtained from the solution of Laplace’s equation, as well as the solution to the electric and magnetic fields for the Helmholtz equation with specific initial conditions. We explain the use of the superposition theorem in a clear electrostatics example. In particular, the problem of the electric potential in a rectangular box with Dirichlet boundary conditions was studied, making an application to waveguides and resonant cavities. Mathematica software was used to obtain the plots of the potential and electric field.

Resumo O problema de três corpos trata de objetos puntiformes interagindo mutuamente através da força gravitacional de Newton. Ao longo de mais de três séculos, o estudo deste tipo de sistema levou ao desenvolvimento e ao aprimoramento de diversas técnicas matemáticas, tanto analíticas quanto numéricas, para a compreensão de problemas que envolvem sistemas dinâmicos. Este trabalho discute alguns desses resultados aplicados ao problema de três corpos restrito, formulado a partir da segunda lei de Newton e da lei da gravitação universal. Em particular, foi estudado o comportamento e a estabilidade de dois tipos importantes de soluções periódicas dessse problema: o alinhamento em linha reta de L. Euler e a coreografia em forma de oito de C. Moore. O software Mathematica foi utilizado para resolver o sistema dinâmico e gerar as imagens de movimento dos corpos, bem como calcular o conjunto de expoentes de Lyapunov associados a cada solução. Apesar do caráter inerentemente caótico do problema de três corpos observado nos expoentes de Lyapunov, a solução em oito é linearmente estável, como discutido nos trabalhos de C. Simó.

Abstract The three-body problem deals with point objects interacting mutually through Newton's gravitational force. For more than three centuries, the study of this type of system has led to the development and improvement of several mathematical techniques, both analytical and numerical, for the understanding of problems involving dynamical systems. This paper discusses some of these results applied to the restricted three-body problem formulated from Newton's second law and the law of universal gravitation. In particular, the behavior and stability of two important types of periodic solutions of this problem were studied: L. Euler's straight-line alignment and C. Moore's figure-eight choreography. Mathematica software was used to solve the dynamical system and to generate the images of movement of the bodies, as well as to calculate the set of Lyapunov exponents associated with each solution. Despite the inherently chaotic character of the three-body problem observed in the Lyapunov exponents, the figure-eight solution is linearly stable, as discussed in C. Simó's works.