RESUMO Neste trabalho estudamos algumas propriedades qualitativas da equação de Allen-Cahn. Esta equação tem sido amplamente estudada em diversas áreas da ciência e principalmente na evolução de microestruturas durante o processo de solidificação de um metal puro ou liga metálica. Os principais resultados obtidos são: a solução exata, a energia de Ginzburg-Landau e a propriedade de decaimento exponencial da energia total do modelo. A solução exata do problema foi obtida pelo método da separação de variáveis, graças a uma escolha adequada do coeficiente de reação. Em relação a estabilização exponencial da energia total das soluções, usamos técnicas multiplicativas para estabelecer a lei de dissipação da energia e, em seguida, usamos algumas desigualdades clássicas da análise matemática para construir a estimativa de decaimento exponencial.

ABSTRACT In this work we study some qualitative properties of the Allen-Cahn equation. This equation has been studied widely in several areas of science and mainly in the evolution of micro-structures during the solidification process of a pure metal or metallic alloy. The main results achieved are: the exact solution, the energy of Ginzburg-Landau and the exponential decay property of the total energy of the model. The exact solution of the problem was built from variables separation method thanks to a particular choice of the coefficient of reaction. In respect to the exponential stabilization of the total energy of solutions, we use the multiplicative techniques in order to establish the energy dissipation law and in the following we use classical inequalities of the mathematical analysis to build the estimate of exponential decay.