Neste texto apresentamos e discutimos um breve panorama cronológico para a dinâmica de populações, observando o ponto de vista dos autores, bem como a evolução dos principais modelos matemáticos e sua importância histórica. Com foco na predição temporal e espacial da variação do número de indivíduos de uma população, analisamos como modelar matematicamente os processos físicos como crescimento, interação, difusão e fluxo de um coletivo de indivíduos. Partimos do bem conhecido modelo de Fibonacci e discutimos como modelos que o sucederam, a saber, o modelo Malthusiano, Lotka-Volterra e Fisher-Kolmogorov, foram capazes de ampliar o entendimento do comportamento de uma população. Apresentamos, nesta linha temporal sinuosa, como as interações entre uma mesma espécie e entre espécies podem ser explicadas e modeladas. Mostramos como funciona o processo de extinção de uma espécie predadora, o fenômeno de difusão de um coletivo devido as mais diversas exigências espaciais, as migrações e invasões de territórios por meio de uma dinâmica convectiva nos modelos de dinâmica de uma população e também como a não-localidade nas interações e no crescimento ampliam enormemente nosso entendimento sobre os padrões na natureza.

In this paper we present and discuss a brief overview chronological for the population dynamics, observing the point of view of the authors, as well as the evolution of the main mathematical models and its historical importance. Focusing on temporal and spatial prediction of the variation in the number of individuals in a population, we analyze how to mathematically model the physical processes such as growth, interaction, dissemination and flow of a collective of individuals. We start from the well-known model of Fibonacci and discussed how models who succeeded him, namely the Malthusian model, Lotka-Volterra and Fisher-Kolmogorov were able to expand the understanding of the behavior of a population. Here, in this winding timeline as the interactions between species and between species can be explained and modeled. We show how the process of extinguishing a predatory species works, the diffusion phenomenon of a collective because the most diverse space requirements, migration and invasions of territories by means of convective momentum in dynamic models of a population as well as non-locality in interactions and growth greatly expand our understanding of the patterns in nature.

ABSTRACT Myracrodruon urundeuva is a plant native to Brazil, which is used by the indigenous population for the treatment of candidiasis. The aims of this study were to evaluate the antifungal activity of extract against human vaginal Candida species and evaluate the possible toxicological activities of M. urundeuva. Initially, ethanol extracts, ethyl acetate fractions, and hydroalcoholic fractions of the bark and leaf of M. urundeuva were used to determine the minimum inhibitory concentration. The extracts that showed antifungal activity were characterized by liquid chromatography and subjected to toxicity assessment. Toxic, cytotoxic, genotoxic, and mutagenic testing were performed using Allium cepa and Ames assays with the ethanol extracts of the bark and leaves. Hemolytic activity was evaluated in erythrocytes and acute toxicity in rats. The ethanol bark extracts showed best activity against Candida albicans, C. krusei, and C. tropicalis ATCC (4-512 µg/mL). Chemical characterization indicated the presence of flavonoids and tannins in the extracts. Hemolytic activity, genotoxicity, and mutagenicity were not observed. The results of the Ames and A. cepa tests were also in agreement, ethanol bark extracts and ethanol leaf extracts of M. urundeuva showed absence of mutagenic activity. Similar results were observed in the A. cepa assay and acute toxicity test in rats. M. urundeuva bark extracts showed potential for the treatment of vaginal infections caused Candida species, as a topical.

Neste trabalho apresentamos uma breve discussão sobre a descrição matemática do fenômeno formação de padrão em sistemas biológicos, observando os modelos matemáticos de dinâmica de populações. Listamos vários exemplos de sistemas físicos, químicos e biológicos que exibem este fenômeno enfatizando, em cada um, os parâmetros principais envolvidos em seu entendimento. Mostramos que, no caso das populações, o fenômeno padrão pode ser modelado ao modificarmos a equação de Fisher-Kolmogorov, considerando uma interação não-local para o termo de competição. Apresentamos um estudo analítico e numérico da equação de Fisher-Kolmogorov com difusão e analisamos o papel dos termos de crescimento, difusão e competição na formação dos padrões.

In this work we present a brief discussion of the mathematical description of pattern formation phenomena in biological systems through the mathematical models of population dynamics. We present some examples of physical, chemical and biological systems which exhibit this phenomena. For each system we show the main parameters that describe the patterns. We show that in the case of population, patterns can be described when we modify the Fisher-Kolmogorov equation, considering a non-local interaction for the competition term. We present an analytical and numerical study of the Fisher-Kolmogorov equation with diffusion and we analyze the role of growth, diffusion and competition term in the pattern formation.