Apresentamos as várias maneiras de definir uma derivada fracionária, na forma de uma introdução histórica ao cálculo fracionário. Partindo do conceito de derivada fracionária, que é uma generalização da integral de Cauchy, abordamos as derivadas fracionárias nos sentidos de Riemann-Liouville e Caputo. Discutimos propostas recentes de novas derivadas fracionárias que, por meio de um processo de limite adequado, recuperam ambas as formulações de Riemann-Liouville e Caputo. Também discutimos outras formulações em que o núcleo da integral é não singular. Com base em um critério recente, justificamos por que tais derivadas podem ser consideradas derivadas fracionárias autênticas. Também apresentamos algumas aplicações de cunho estritamente matemático, junto com uma aplicação a um problema físico específico.

We present the several ways one can define a fractional derivative, in the form of a historical introduction to fractional calculus. Starting with the concept of fractional derivative, which is a generalization of the Cauchy integral, we approach the fractional derivatives in the senses of Riemann-Liouville and Caputo. We discuss recent proposals of new fractional derivatives which, through an adequate limiting process, recover both the Riemann-Liouville and the Caputo formulations. We also discuss other formulations in which the kernel of the integral is nonsingular. On the basis of a recent criterion, we justify why such derivatives can be considered authentic fractional derivatives. We also present some applications of strictly mathematical nature, together with an application to a specific physical problem.

Usando uma representação integral para a função de Hankel de primeira espécie (representação integral de Hankel-Bessel) obtemos a chamada fórmula de Basset, uma representação integral para a função de Bessel modificada de segunda espécie. A partir de uma representação integral de Sonine-Bessel obtemos a transformada de Fourier em co-senos da função de Bessel de ordem zero. Como uma aplicação, apresentamos o cálculo da função de Green associada a uma equação diferencial parcial de segunda ordem, a saber, a equação da onda em um meio dissipativo de dimensão dois. Esta aplicação está associada ao campo eletromagnético transiente irradiado por uma fonte tipo pulso na presença de meios dispersivos, o qual é de grande importância na teoria de prospecção geofísica, estudos sobre luz e desenvolvimento de sistemas de antenas tipo pulso.

Using an integral representation for the first kind Hankel (Hankel-Bessel Integral Representation) function we obtain the so-called Basset formula, an integral representation for the second kind modified Bessel function. Using the Sonine-Bessel integral representation we obtain the Fourier cosine integral transform of the zero order Bessel function. As an application we present the calculation of the Green's function associated with a second-order partial differential equation, particularly a wave equation for a lossy two-dimensional medium. This application is associated with the transient electromagnetic field radiated by a pulsed source in the presence of dispersive media, which is of great importance in the theory of geophysical prospecting, lightning studies and development of pulsed antenna systems.