RESUMO O lago Luruaco localizado no Departamento de Atlántico, Colômbia, sofre com o despejo de esgoto sem tratamento, trazendo riscos à saúde de todos que utilizam suas águas. O presente estudo tem como objetivo realizar a simulação numérica da dinâmica da concentração de coliformes fecais no lago. A simulação do fluxo hidrodinâmico do lago é realizada por meio de um modelo bidimensional horizontal (2DH), dado por um sistema de equações de Navier-Stokes. Já a simulação do transporte de coliformes fecais é descrita por uma equação convectiva-dispersiva-reativa. Essas equações são resolvidas numericamente pelo Método de Diferenças Finitas (MDF) e pelo método Mark and Cell (MAC), em coordenadas generalizadas. Quanto à construção da malha computacional do lago Luruaco, os métodos spline cúbica e multibloco foram utilizados. Os resultados obtidos nas simulações permitiram uma melhor compreensão da dinâmica de coliformes fecais no lago Luruaco, evidenciando as regiões mais polúıdas. Os resultados também podem orientar órgãos públicos quanto à identificação dos emissores de poluentes no lago e o desenvolvimento de um tratamento otimizado para a recuperação do ambiente poluído.

ABSTRACT The Luruaco Lake located in the Department of Atlántico, Colombia, is damaged by the discharge of untreated sewage, bringing risks to the health of all who use its waters. The present study aims to perform the numerical simulation of the concentration dynamics of fecal coliforms in the lake. The simulation of the hydrodynamic flow is carried out by means of a two-dimensional horizontal (2DH) model, given by a Navier-Stokes system. The simulation of fecal coliform transport is described by a convective-dispersive-reactive equation. These equations are solved numerically by the Finite Difference Method (FDM) and the Mark and Cell (MAC) method, in generalized coordinates. Regarding the construction of the computational mesh of the Luruaco Lake, the cubic spline and multiblock methods were used. The results obtained in the simulations allow a better understanding of the dynamics of fecal coliforms in the Luruaco Lake, showing the more polluted regions. They can also advise public agencies on identifying the emitters of pollutants in the lake and on developing an optimal treatment for the recovery of the polluted environment.

Neste trabalho fizemos comparações entre formulações semi-discretas para a obtenção de soluções numéricas para a equação 1D de Burgers. As formulações consistem em discretizar o domínio temporal via métodos implícitos multi-estágios de segunda e quarta ordem: aproximantes de Padé R11 e R22; e o domínio espacial via métodos de elementos finitos: mínimos quadrados (MEFMQ), Galerkin (MEFG) e Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). Conhecendo as soluções analíticas da equação 1D de Burgues, para diferentes condições iniciais e de fronteira, foram realizadas análises dos erros numéricos a partir das normas L2 e L∞. Verificamos que o método com o aproximante de Padé R22 adicionado as formulações MEFMQ, MEFG e SUPG, aumentou a região de convergência das soluções numéricas e apresentou maior precisão quando comparado as soluções obtidas por meio do aproximante de Padé R11. Constatamos que o método R22 amenizou as oscilações das soluções numéricas associadas as formulações MEFG e SUPG.

In this work we compare semi-discrete formulations to obtain numericalsolutions for the 1D Burgers equation. The formulations consist in the discretization ofthe time-domain via multi-stage methods of second and fourth order: R11 and R22 Padé approximants, and of the spatial-domain via finite element methods: least-squares (MEFMQ), Galerkin (MEFG) and Streamline-Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). Knowing the analytical solutions of the 1D Burgues equation, for different initial and boundary conditions, analyzes were performed for numerical errors from L2 and L∞ norm. We found that the R22 Padé approximants, added to the MEFMQ, MEFG, and SUPG formulations, increased the region of convergence of the numerical solutions, and showed greater accuracy when compared to the solutions obtained by the R11 Padé approximants. We note that the R22 Padé approximants softened the oscillations of the numerical solutions associated to the MEFG and SUPG formulations.

Neste artigo estudamos um sistema de equações diferenciais acopladas, que descrevem a propagação de um pacote de ondas, composto de duas ondas com freqüências ômega<FONT FACE=Symbol>0</font> (modo fundamental) e 2ômega<FONT FACE=Symbol>0</font> (segundo harmônico), em um guia dielétrico com não-linearidades quadráticas. Assintoticamente, verifica-se que o sistema de equações diferenciais se desacopla, com dinâmica do sistema passando a ser descrita pela equação de Schrödinger não-linear (NLSE). Resolvendo analiticamente o sistema de equações diferenciais acopladas, soluções do tipo sóliton são obtidas para a evolução temporal do pacote no guia dielétrico. Enfim, discute-se as propriedades destas soluções, dando ênfase as condições necessárias para a sua existência.

In this work we study a coupled differential equations system, which describes the propagation of a wave packet, composed of two waves with frequencies omega<FONT FACE=Symbol>0</font> (fundamental wave) and 2omega<FONT FACE=Symbol>0</font> (second-harmonic wave), in a quadratic nonlinear dieletric waveguide. Asymptotically, we show that these equations reduce to the nonlinear Schr¨odinger equation (NLSE). Solving the coupled differential equations system, we obtain soliton solutions for the time evolution of the packet in the dielectric waveguide. Finally, we discuss the property of soliton solutions, in particular the necessary conditions for their existence.