Abstract The results of a research about Chilean teachers of Mathematics are shown in this investigation, in subject matters of Euclidean geometry, which articulates the approaches synthetically and analytically. The study presents a situation of reference that favors certain specific phases of work. The investigation sustains in the approach Mathematical Working Space and studies the personal work of the teacher with a methodological qualitative approach. The empirical evidence provides elements that allows us to characterize the paradigms in the cartesian sub-domain, which has been a contribution to the theoretical frame.

Resumen En esta investigación se muestran resultados de un estudio con profesores de matemática de liceo en Chile, en temáticas de geometría euclidiana que articulan los enfoques sintético y analítico. El estudio presenta una situación de referencia que favorece ciertas rutas de trabajo específicas. La investigación se sustenta en el enfoque Espacio de Trabajo Matemático y estudia el trabajo personal del profesor con un enfoque metodológico cualitativo. La evidencia empírica proporciona elementos que permiten caracterizar los paradigmas en el subdominio cartesiano, lo cual ha sido un aporte al constructo teórico.

Abstract In this research, we study the epistemological stability of beginning teachers. To do this, we have made a qualitative study of their suitable-MWS when developing a mathematical domain with the students, so as to clarify the elements that they put into play when unfolding a task in the classroom. We show results related to the eventual favoring that those teachers make of the realization of semiotic, discursive and instrumental genesis, and of the circulation between the different poles of the epistemological and cognitive planes. The study shows that the epistemology of beginning teachers is not stable, due to tension between their personal-MWS and their suitable-MWS.

Resumen En este trabajo estudiamos la estabilidad epistemológica de profesores debutantes. Para ello, hemos hecho un estudio cualitativo de su ETM-idóneo en el momento en que desarrollan un dominio matemático con sus estudiantes, de modo de clarificar los elementos que ponen en juego cuando despliegan una tarea en el aula. Mostramos resultados relativos al favorecimiento eventual que hacen esos profesores de la concreción de las génesis semiótica, instrumental y discursiva, y de la circulación entre los distintos polos de los planos epistemológico y cognitivo. Del estudio se desprende que la epistemología del profesor debutante no es estable, debido a una tensión entre su ETM-personal y su ETM-idóneo.

Abstract: The representation of multiplication in the number system of the Complex Numbers is usually presented with a strong emphasis in the algebraic aspect that brings a partial comprehension of this property. On the basis of the foregoing, the current study investigates the learning process of the multiplication of complex numbers in order to teach this content facilitating the graphic register according to the theory of Mathematical Working Space. In this qualitative research, there has been implemented a learning proposal that includes 34 engineering students in the first stage and 4 mathematics students in the second stage; both groups of students are in their first year at university (18-19 years old). Based on the results it is clear that carrying out processes and conversions between the semiotic registers used with a software artefact not only permit the activation of certain genesis of the ETM, but also produce circulations in the personal ETM of a student which leads to a better comprehension of the mathematical object in question.

Resumen: La representación de la multiplicación en el sistema numérico de los números complejos suele presentarse con un fuerte énfasis en lo algebraico, lo que lleva a una comprensión parcial de esta propiedad. A partir de lo anterior, en el presente trabajo se investiga sobre el proceso de aprendizaje de la multiplicación de los números complejos, con el objetivo de enseñar este contenido privilegiando el registro gráfico a partir de la teoría de Espacio de Trabajo Matemático. En esta investigación cualitativa se ha implementado una propuesta de aprendizaje en una primera fase con 34 estudiantes de ingeniería; y en una segunda fase con 4 estudiantes de Matemática, ambos grupos de estudiantes pertenecientes a primer año universitario (18-19 años). A partir de los resultados se evidencia que al realizar tratamientos y conversiones entre los registros semióticos usados con un artefacto de tipo software, no sólo se permite la activación de las distintas génesis del ETM, sino que también produce circulaciones en el ETM personal del estudiante, lo que lleva a una mejora en la comprensión del objeto matemático en cuestión.

Résumé: Les obstacles épistémologiques ont des racines profondes dans la Mathématique, racines qu'on peut reconnaître dans l'histoire de la discipline ; elles se caractérisent tant par sa persistance, réapparaissant en des diverses situations, et parce qu'elles son déterminantes pour l'acquisition des connaissances. Néanmoins, ces obstacles demeurent souvent inaperçus par l'enseignant, parfois parce qu'il a remplacé ses propres conceptions (sémantiques) par d'autres, théoriques, ou bien justement parce qu'il n'a pas encore fait cette substitution. Dans ce travail nous présentons une illustration particulièrement remarquable de ce qui précède, qui se rapporte à la persistance d'un obstacle lié au concept d'infini chez des sujets possédant des niveaux de formation différents. Ensuite nous exhibons une caractéristique additionnelle de l'obstacle que nous appelons résistance. Après, nous utilisons diverses approches théoriques, proprement didactiques, pour aborder la question. Finalement, nous présentons quelques réflexions qui découlent de notre étude.

Resumo: Os obstáculos epistemológicos muitas vezes têm raízes profundas na própria matemática, que podem-se indagar na história da disciplina, e caracterizam-se ao mesmo tempo pela persistência com que reaparecem em diferentes situações e o decisivas que são para o secesso da aprendizagem. Estes obstáculos muitas vezes não são notados pelo professor, ou porque ele substituiu no momento oportuno suas próprias concepções (semânticas) por outras de carácter teórico - superando assim o obstáculo sem reparar explicitamente em isso -, ou porque não fez ainda essa substituição. Neste artigo apresentamos uma ilustração particularmente relevante do anterior, que refere-se à persistência do obstáculo ligados ao conceito de infinito em pessoas em diferentes estágios de formação. Após, nos mostramos um recurso adicional que nomeamos de resistência. Posteriormente, utilizamos diversas perspectivas teóricas de ensino proprias da didática, para entrar na questão. Finalmente, nos propomos algumas reflexões que podem-se derivadar de nosso estudo.

Abstract: Epistemological obstacles often have deep roots in Mathematics itself; those roots can be explored in the history of the discipline, and are characterized both by the persistence with which they reappear in various situations and the determining role that they play for the achievement of learning. These obstacles often remain unnoticed by the instructor, either because he/ she has replaced in time his/her own (semantic) conceptions by others of a theoretical nature - overcoming thus the obstacle, but not being aware of it - or else because he/she has not yet made that substitution. In this paper, we present a particularly relevant illustration of the above, which refers to the persistence of an obstacle related to the concept of infinity in different stages of learning. Then we show an additional characteristic of the obstacle, that we call resistance. Subsequently, we use various theoretical approaches, properly didactic, to go into the question. Lastly, we put forward some reflections that can be derived from our study.

Resumen: Los obstáculos epistemológicos suelen tener raíces profundas en la propia Matemática, que pueden pesquisarse en la historia de la disciplina, y se caracterizan a la vez por la persistencia con la cual reaparecen en diversas situaciones y lo determinante que son para el logro de los aprendizajes. Estos obstáculos con frecuencia no son advertidos por el docente, bien sea porque ha reemplazado oportunamente sus propias concepciones (semánticas) por otras de carácter teórico -superando así el obstáculo, sin reparar explícitamente en ello-, o porque no ha logrado aun hacer esa substitución. En este trabajo presentamos una ilustración particularmente relevante de lo anterior, que se refiere a la persistencia de un obstáculo ligado al concepto de infinito en personas en distinto estadio de formación. Luego mostramos una característica adicional del obstáculo que llamamos resistencia. Posteriormente, utilizamos diversas perspectivas teóricas propiamente didácticas para adentrarnos en la cuestión. Finalmente, proponemos algunas reflexiones que se pueden derivar de nuestro estudio.