RESUMO O método de homogenização assintótica é aplicado a problemas de valor de contorno unidimensionais para equações diferenciais não lineares com coeficientes constantes por partrs e rapidamente oscilantes que modelam o comportamento de compósitors microperiódicos não lineares, com o objetivo de avaliar a influência do contato imperfeito entre as fases no comportamento efetivo. Em particular, considerou-se um fluxo não linear de lei de potência no gradiente da incógnita. Vários resultados computacionais são apresentados e discutidos no final deste trabalho, incluindo uma comparação de alguns resultados com cotas variacionais, uma abordagem importante deste trabalho.

ABSTRACT The asymptotic homogenization method is applied here to one-dimensional boundary-value problems for nonlinear differential equations with rapidly oscillating piecewise-constant coefficients which model the behavior of nonlinear microperiodic composites, in order to assess the influence of interfacial imperfect contact on the effective behavior. In particular, a nonlinear power-law flux on the gradient of the unknown was considered. Several calculations were performed and are discussed at the end of this work, including a comparison of some results with variational bounds, which is also an important approach of this work.

RESUMO O método de homogeneização assintótica é aplicado para obter a solução assintótica formal e uma solução homogeneizada de um problema de valor de contorno de Dirichlet para uma equação elíptica com coeficientes rapidamente oscilantes. A proximidade da solução assintótica formal e a solução homogeneizada para a solução exata é provada, a qual fornece a justificativa matemática do processo de homogeneização. A preservação da simetria e definição positiva do coeficiente efetivo no problema homogeneizado é também provada. Um exemplo é apresentado para ilustrar os resultados teóricos.

ABSTRACT The asymptotic homogenization method is applied to obtain formal asymptotic solution and the homogenized solution of a Dirichlet boundary-value problem for an elliptic equation with rapidly oscillating coefficients. The proximity of the formal asymptotic solution and the homogenized solution to the exact solution is proved, which provides the mathematical justification of the homogenization process. Preservation of the symmetry and positive-definiteness of the effective coefficient in the homogenized problem is also proved. An example is presented in order to illustrate the theoretical results.

Recent variational inequalities of Talbot are used to improve the lower and upper bounds for the effective energy of nonlinear 3-D two-phase conducting composites. The effective conductivity of the linear isotropic two-phase periodic conducting composite used as comparison material in the inequalities is computed through an asymptotic homogenization model by finite element analysis of the local problem on the three-dimensional cubic unit cell with one spherical inclusion. A brief mathematical description of the numerical method is included. Numerical calculations of the effective conducting linear property are compared with Bruno's bounds. It shows that the numerical solution for the limit cases of superconducting and empty inclusions improves the bounds when the inclusion volume fraction is greater than about 0.4. It is natural to expect an improvement in the whole volume fraction of Talbot's bounds for nonlinear conducting composites when the numerical calculation is used instead of bounds for the linear comparison problem, as is the case here.

Las cotas inferior y superior para la energía efectiva de un compuesto conductor no lineal, tridimensional bifásico son mejoradas usando desigualdades variacionales de Talbot. La conductividad efectiva del compuesto de comparación periódico, bifásico, lineal, usado en las desigualdades, se obtiene resolviendo los problemas locales que aparecen al aplicar el método de homogeneización asintótica, mediante un analisis de elemento finito, tomando como celda unitaria un cubo con una inclusión esférica. Los métodos numéricos empleados se describen brevemente. Los resultados numéricos para la propiedad efectiva del compuesto de comparación se comparan con las cotas de Bruno. Se observa que una de las cotas está muy cerca de la solución numérica, para los casos límites de inclusión superconductora y vacía, y cuando la fracción volumétrica de la inclusión es mayor que 0.4, esta se aleja. Es natural entonces esperar una mejora, en todo el rango de fracciones volumétricas de las cotas de Talbot para compuestos conductores no lineales, cuando se usan los cálculos numéricos, en lugar de las cotas para el compuesto de comparación lineal, como es aquí el caso.