ABSTRACT Through algebraic number theory and Construction A we extend an algebraic procedure which generates nested complex lattice codes from the polynomial ring F 2 x / x n - 1, where F 2 = 0 , 1, by using ideals from the generalized polynomial ring F 2 x , 1 2 ℤ 0 x 1 2 2 n - 1 through the ring of integers ���� of the cyclotomic field L = ℚ ζ 2 s, where ζ 2 s is a 2 s -th root of the unit, with s > 2.

RESUMO Uma construção de reticulados usando ℤ submódulos de anéis de inteiros de corpos de números é apresentada. A construção produz versões rotacionadas dos reticulados laminados Λ n p a r a n = 2 , 3 , 4 , 5 , 6, que são os reticulados mais densos nessas dimensões. A densidade de empacotamento esférico de um reticulado é uma função do seu raio de empacotamento, o qual por sua vez pode ser diretamente calculado a partir da norma quadrada mínima do reticulado. Normas em um reticulado realizado por um corpo de números totalmente real podem ser calculadas pela forma traço do corpo restrita ao seu anel de inteiros. Portanto, no presente trabalho, apresentamos também a forma traço do subcorpo real maximal de um corpo ciclotômico. Nosso foco é em corpos de números totalmente reais pois os reticulados associados a eles possuem diversidade máxima. Juntamente com a densidade de empacotamento, a característica de diversidade máxima é desejável em reticulados que são usados para transmissão de sinais que percorrem os canais gaussiano e de desvanecimento Rayleigh.

ABSTRACT A lattice construction using ℤ-submodules of rings of integers of number fields is presented. The construction yields rotated versions of the laminated lattices Λ n f o r n = 2 , 3 , 4 , 5 , 6, which are the densest lattices in their respective dimensions. The sphere packing density of a lattice is a function of its packing radius, which in turn can be directly calculated from the minimum squared Euclidean norm of the lattice. Norms in a lattice that is realized by a totally real number field can be calculated by the trace form of the field restricted to its ring of integers. Thus, in the present work, we also present the trace form of the maximal real subfield of a cyclotomic field. Our focus is on totally real number fields since their associated lattices have full diversity. Along with high packing density, the full diversity feature is desirable in lattices that are used for signal transmission over both Gaussian and Rayleigh fading channels.

RESUMO A teoria de reticulados têm mostrado útil na teoria da informação e reticulados ideais com alta diversidade de modulação têm sido extensamente estudados como uma alternativa de transmissão via o canal de Rayleigh, onde o desempenho destes esquemas de modulação depende essencialmente da diversidade de modulação e da distância produto mínima para obter ganhos substanciais de codificação. A diversidade máxima de um reticulado rotacionado é garantida quando usamos corpos de números totalmente reais e a distância produto mínima é otimizada considerando os corpos com discriminante mínimo. Neste trabalho, apresentamos uma construção de reticulado rotacionado, onde esta construção é através de um subcorpo totalmente real �� do p-ésimo corpo ciclotômico, onde p é um número primo ímpar, obtido via o seu anel de inteiros.

ABSTRACT The theory of lattices have shown to be useful in information theory and rotated lattices with high modulation diversity have been extensively studied as an alternative approach for transmission over a Rayleigh-fading channel, where the performance of this modulation schemes essentially depends on the modulation diversity and on the minimum product distance to achieve substantial coding gains. The maximum diversity of a rotated lattice is guaranteed when we use totally real number fields and the minimum product distance is optimized by considering fields with minimum discriminant. In this paper, we present construction of a full diversity rotated lattice for the Rayleigh fading channel in Euclidean space with full diversity, where this construction is through a totally real subfield �� of the cyclotomic field Q ( ζ p ), where p is an odd prime, obtained by endowing their ring of integers.

RESUMO Um método para construir ℤ n-reticulados rotacionados, com n uma potência de 2, via subcorpos totalmente reais do corpo ciclotômico ℚ ( ζ 2 r ), onde r ≥ 4 é um inteiro, é apresentado. Reticulados que exibem diversidade completa em algumas dimensões n não abordadas anteriormente são obtidos.

ABSTRACT A method for constructing rotated ℤ n-lattices, with n a power of 2, based on totally real subfields of the cyclotomic field ℚ ( ζ 2 r ), where r ≥ 4is an integer, is presented. Lattices exhibiting full diversity in some dimensions n not previously addressed are obtained.

Resumen Este artículo estudia los diferentes modelos de crecimiento de grietas por fatiga, exponiendo una breve descripción histórica. Siguiendo la línea cronológica en el desarrollo de la investigación, hace especial énfasis en la ley de Paris y luego estudia algunos modelos específicos que, en general, corresponden a investigaciones de punta realizadas por diversos grupos, en el ámbito internacional. El objetivo principal es analizar y discutir las ventajas y desventajas de los diferentes modelos, teniendo en cuenta condiciones como la facilidad de aplicación, la disponibilidad de datos y la validez con respecto a los resultados experimentales.

Abstract In this work, different models of fatigue crack growth are studied; a brief historical description on this subject is also provided. The research on this topic is described chronologically; however, emphasis is made on the model proposed by Paris. Then, a number of models that, in general, correspond to cutting-edge research conducted by various international research groups are studied. The main aim of this work is to analyze and discuss the advantages and disadvantages of the different models, taking into account criteria such as ease of application, data availability, and correlation with experimental results.

This paper introduces novel constructions of cyclic codes using semigroup rings instead of polynomial rings. These constructions are applied to define and investigate the BCH, alternant, Goppa, and Srivastava codes. This makes it possible to improve several recent results due to Andrade and Palazzo [1].